Normal Distribution, Gaussian Distribution   정규 분포, 가우시안 분포, 가우스 분포, 가우시안 확률분포

(2017-09-05)

Gaussian Function, 가우스 함수, 가우시안 함수, Gaussian Probability Density Function, 가우시안 확률밀도함수, 가우스 확률밀도함수

1. 정규(Normal) 또는 가우시안(Gaussian) 이란?

  ㅇ 정규 분포 또는 가우시안 분포

     - 자연과학,사회과학의 통계적 방법에서 가장 많이 이용되는 대표적 확률분포
        . 잡음,측정 오차들의 분포 등 많은 자연현상을 매우 잘 표현하는 이상적인 확률모형
        . 일상적인 키,몸무게,제품수명 등 대부분의 자료분포가 정규분포에 매우 근사적 접근
        . 자연 질서의 표현

     - 평균을 중심으로 좌우대칭인 종(鐘,bell) 모양을 갖는 확률 분포

  ㅇ 가우스 함수(Gaussian Function) 또는 정규 함수(Normal Function)
       
     - 이 함수는, 표준정규분포에서의 확률밀도함수와 같음


2. 용어 명칭공학자는 `가우시안 분포`라고 하며, 수학자는 `정규 분포`라고 말함
     - 1809년 독일수학자 가우스가 천체 위치의 측정 오차 분포를 이것으로 설명

  ㅇ 기타 많은 수학자가, 종 모양(bell-shaped)의 거의 모든 분포가 가우스 분포를 가
     지며, 이것을 정규 분포(normal distribution)라고 부름


3. 정규분포 모양/형태

  ㅇ 2개의 변수(`평균`,`분산`) 만으로 설명이 가능 
     -   X ~ N(μ,σ²)
        . 곡선 모양이 분포 중심인 평균, 분포 폭인 분산(또는 표준편차 σ)에 의해 결정

  ㅇ 확률밀도함수는 종형(bell-shape) 모양의 대칭적 분포를 가짐
     - 평균값 μ을 중심으로 좌우대칭, 가운데에 위치한 값이 최대값

  ㅇ (기대값 or 평균 ± n x 표본오차) 범위 내 면적이 그 만큼의 확률을 설명함
     - 평균에서 ±3σ 범위 내 전체의 99.7% 가 존재 : P(μ-3σ < X̅ < μ+3σ) = 0.9974
     - 평균에서 ±2σ 범위 내 전체의 95.5% 가 존재 : P(μ-2σ < X̅ < μ+2σ) = 0.9544
     - 평균에서 ±1σ 범위 내 전체의 68.3% 가 존재 : P(μ-1σ < X̅ < μ+1σ) = 0.6826

     * 다음의 경우들은, 통계학에서 많이 쓰이는 경우 임                    ☞ 신뢰수준 참조
     - 양측 1%점 (평균을 중심으로 99%가 존재)        : P(μ-2.58σ < X̅ < μ+2.58σ) = 99%
     - 양측 5%점 (평균을 중심으로 95%가 존재)        : P(μ-1.96σ < X̅ < μ+1.96σ) = 95%
     - 단측 상위 1%점 (좌끝단 ~ 오른쪽까지 99% 존재) : P( X̅ < μ+1.648σ) = 99%
     - 단측 상위 5%점 (좌끝단 ~ 오른쪽까지 95% 존재) : P( X̅ < μ+2.33σ)  = 95%

  ㅇ 분산이 같으면 평균이 변하더라도 분포의 모양 자체는 변하지 않음
     - 분산값이 클수록 굵고 평평한 종모양 형태이며, 작을수록 가늘고 뾰족한 형태
        


4. 정규분포 주요 특성

  ㅇ 표기           :  X ~ N(μ,σ²)
     - 두 개의 모수 μ(평균),σ²(분산)에 의해 결정되는 확률적 분포확률밀도함수 (Probability Density Function, PDF) 
        
       평균(기대값)   :  E[X] = μ 

  ㅇ 분산(Variance) :  Var[X] = σ²


5. [참고사항]

  ㅇ 정규분포의 정규화(평균 μ= 0, 분산 σ2 = 1)  ☞ 표준 정규분포 (Q 함수, 오류함수)

  ㅇ 표본분포확률수렴중심극한의 정리
     - 표본 크기가 커지면, 표본 평균확률분포(표본분포)는 정규분포에 수렴
        . 정규분포를 갖는 독립적인 랜덤변수들의 합은 다시 정규분포를 띔

  ㅇ 정규분포로부터 유도될 수 있는 확률분포들
     - 카이제곱 분포, t 분포, 로그 노말 분포, Rayleigh 분포, Rician 분포 등

  ㅇ 정규분포를 띄는 잡음 형태 ☞  열잡음


[정규분포] 1. 정규분포 2. 표준 정규분포(Z 분포) 3. Q 함수 4. 오차함수 5. 로그 정규분포 6. 이변량 정규분포 7. z 값
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   정수론(수론)
      4.   해석학(미적분 등)
      5.   대수학
      6.   확률/통계
        1.   확률(기초일반)
        2.   확률공간
        3.   통계량
        4.   확률 모형,분포
              1. 랜덤성
              2. 확률 분포
              3. 확률 변수
          1.   확률 함수
          2.   이산확률분포
          3.   연속확률분포
          4.   정규분포
            1.   1. 정규분포
                2. 표준 정규분포(Z 분포)
                3. Q 함수
                4. 오차함수
                5. 로그 정규분포
                6. 이변량 정규분포
                7. z 값
        5.   확률 변수
        6.   확률 과정
        7.   통계학
      7.   수치해법
    2.   물리/화학
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  3.   파동/광학/음향
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
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  7.   정보기술(IT)
  8.   기계/재료/공업일반
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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