Probability, Axiom of Probability   확률, 확률 공리

(2017-07-10)

확률의 가법 정리, 확률의 승법 정리

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 > 확률(기초일반) 1. 확률
2. 전체 확률 법칙
3. 대수의 법칙
4. 중심극한의 정리
5. 베이즈 정리
6. 사전확률/사후확률
7. 자유도
8. 체비셰프 부등식

     
1. 확률 (Probability)

  ㅇ 어떤 사건이 일어날 가능성의 측도(measure,측량 단위) = 수(數)로써 나타낸 것
     - 상대적 비율로 표현
        . 즉, 어떤 현상이 일어날 가능성을 측정,표현코자하는 측도(measure)로 삼고자한
              것이 바로 확률 임


2. 확률의 종류

  ㅇ 이론적 확률 (수학적 확률)
     - 누구라도 동일한 값으로 계산되는 엄밀한 확률        : 수학적으로 정의됨

  ㅇ 객관적 확률 (통계적 확률 / 상대빈도 확률)
     - 동일조건/독립적으로 몇번 반복하였을 때의 발생 확률 : 도수 이론(frequency theory)

     * (대수의 법칙) 시행이 많아질수록 `통계적 확률`은 `수학적 확률`에 가까워짐

  ㅇ 주관적 확률
     - 관찰자의 주관적 믿음/확신으로써 표현되는 확률      : 주관적 견해(subjective view)

     * (베이즈 확률) 모집단을 미리 확정짓지 않고, 모수확률변수 처럼 취급


3. 확률 공리 (공리적 확률) (Axiom of Probability)

  ㅇ 오랫동안 경험적으로 쌓아온 확률현상에 대한 경험적 인식을 바탕으로 이론화한 것
     - 어떤 사건의 확률을 계산하기 위한 규칙의 근거를 제시함

  ㅇ 수학적으로 확률은 다음의 3가지 공리로부터 출발한다.

     - 공리 1  (Non negativity)
        . 임의의 사건 A에 대하여  1 > P(A) ≥ 0
     - 공리 2  (Normalization)
        . P(S) = 1  (여기서, S 는 표본 전체의 집합,표본공간)
     - 공리 3  (Additivity)
        . 상호배타적인 사건 A₁,A₂,A₃,...에 대하여,
        . P(A₁∪ A₂∪ A₃∪ ...) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + ...

     * 확률은 0 과 1 사이의 실수이다. (공리 1 및 2) 
     * 모든 상호배타적 사건의 합집합에 대한 확률은 개개 사건의 확률의 합이다. (공리 3)

  ※ 1933년 러시아 수학자 A. N. Kolmogorov(1903~1987)가 정형화시킴


4. 확률의 주요 정리/법칙

  ㅇ 확률의 가법 정리(덧셈 정리) (Addition Theorem of Probability)
     - P(A∪B) = P(A) + P(B)
        . 상호독립인 사상 A,B 어느 하나가 일어날 확률은, 확률들의 합과 같음

  ㅇ 확률의 승법 정리(곱셈 정리) (Multiplication Theorem of Probability)
     - P(A∩B) = P(A|B) P(B)  또는  P(B|A) P(A)
        . A,B가 동시 발생 확률은, A 발생 확률과 B 발생 확률을 곱한 것과 같음

  ㅇ 대수의 법칙 (Law of Large Numbers)

  ㅇ 전체 확률 법칙 (Law of Total Probability)


5. [참고사항]집합 이론
     - 표본 공간사건들을 자세하게 기술하는데 이용됨

  ㅇ 확률변수 
     - 실험에서 나올 수 있는 모든 결과를  대변(代辯)케하는 변수확률모형/확률분포
     - 확률적 현상에 대한 수학적(확률적) 표현 (확률변수의 거동,동태를 나타냄)

  ㅇ 확률함수(누적분포함수,확률질량함수,확률밀도함수)
     - 전반적 확률 특성에 대한 정보 (확률변수의 거동,동태를 함수 표현을 빌려 나타냄)


[ 확률(기초일반) ]1. 확률  2. 전체 확률 법칙  3. 대수의 법칙  4. 중심극한의 정리  5. 베이즈 정리  6. 사전확률/사후확률  7. 자유도  8. 체비셰프 부등식  

 
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