Ring (환), Ring Axiom   환 (Ring), 환

(2017-09-27)

Commutative Ring, 가환환

1. 환(環,Ring) 이란?

  ㅇ 어떤 집합 R 및 그 집합 위에 2개의 이항연산(덧셈,곱셈)이 정의되는 대수 구조

  ㅇ 환의 표기 : `( R, +, ∙)` 또는 `< R, +, ∙ >` 또는 `환 R`
     - 곱셈 기호 ·는 생략하는 것이 관례임


2. 환(環)의 공리(Axiom)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에 대해  :  ( R, + )는 덧셈에 대한 가환군(아벨군)
     - ①  닫혀있음 (closure)
     - ②  항등원(`0`)이 존재 (identity)
        .  a + 0 = 0 + a = a
     - ③  각 성분에 대해 역원이 존재함 (inverse)
        .  a + (-a) = (-a) + a = 0
     - ④  모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associative)
        .  (a + b) + c = a + (b + c)
     - ⑤  모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutative)
        .  a + b = b + a

  ㅇ 곱셈(·) 연산에 대해  :  ( R, · )
     - ⑥  닫혀있음 (closure)
     - ⑦  모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associative)
        .  (a·b)·c = a·(b·c)

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(·) 연산에 대해  :  ( R, +, · )
     - ⑧  모든 성분에 대해 분배법칙이 성립 (distributive)
        .  a·(b + c) = a·b + a·c, (a + b)·c = a·c + b·c 


3. 환의 공리를 달리 표현하면,

  ㅇ 덧셈에 대해서는 아벨군(가환군)이고,
  ㅇ 곱셈에 대해서는 결합법칙이 성립하고,
  ㅇ 덧셈 및 곱셈에 대해서는, 분배법칙이 성립함

  ㅇ 한편,
     - 굳이, 곱셈에서 교환법칙이 성립할 필요 없음
        . 곱셈의 교환법칙까지도 성립한다면 `가환환` 이라고 함
     - 또한, 곱셈에서 항등원을 갖을 필요 없음
        . 곱셈에서도 항등원을 갖으면, `단위원을 갖는 환` 이라고 함


4. 추가적인 조건이 부여됨에 따라 나타나는 또다른 환의 형태들

  ㅇ 가환환(Commutative Ring)
     - 추가적으로 곱셈(·)에 대해서도 가환(commutative)이 되는 환 : a·b = b·a  
        . 즉, 곱셈에 대해 교환법칙까지도 성립하는 가환환

  ㅇ 단위원을 갖는 환(Ring with Unity)
     - 추가적으로 곱셈 항등원 즉, 단위원을 갖는 환 : 1·a = a·1 = a
        . 단위원(unity or identity) : 곱셈에 대한 항등원
        . 한편, 환은 굳이 곱셈에 대한 항등원을 갖을 필요 없음

  ㅇ 나눗셈환(Division Ring)
     - 단위원 1을 갖는 환으로써, 곱셈 역원이 존재하는 환
        . 각 원소 a∈R,a≠0에 대해, a·a-1 = a-1·a = 1

  ㅇ 정역(Integral domain)
     - 단위원 1을 갖는 가환환으로써, 추가적으로 다음 조건을 만족
        .  a≠0,b≠0 이면 a·b≠0 을 만족함
           .. 또는, a·b = 0 이면, a = 0 또는 b = 0  (a,b ∈ R)
     - 例) 정수 집합 Z, 소수체 Zp (p는 소수), 정수 계수 다항식환 Z[x] 등

  ㅇ 체(Field)
     - 가환환인 나눗셈환
        . 단위원을 갖는 가환환으로,
        . 영이 아닌 모든 원소가 단원(unit,역원이 존재하는 원소)이 되는 경우

  ㅇ 사체/비가환체(Skew Field)
     - 비가환환인 나눗셈환

  ※ 환,가환환,단위원을 갖는 환,정역, 의 비교
      


5. 환의 例 정수 환(Ring of Integer) (Z,+,∙)
     - 정수의 덧셈과 곱셈에 대해 항등원을 갖는 가환환
     - 정수환은 정역이긴 하지만 체는 아님. ∵ 곱셈 역원이 존재 않음.
  ㅇ 유리수 환 (Q,+,∙)
  ㅇ 실수 환 (R,+,∙)
  ㅇ 복소수 환 (C,+,∙)
  ㅇ 짝수집합 환 (2Z,+,∙)
  ㅇ 행렬 환 (Mn(R),+,∙)
  ㅇ 다항식 환(Polynomial Ring) R[x]


[추상대수학]1. 대수 구조  2. 군(Group)  3. 환(Ring)  4. 체(Field)  
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