Vector   벡터

(2017-05-18)
기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
확률/통계
수치해법
 > 대수학 1. 대수학

기초대수학
선형대수학
추상대수학
 > 선형대수학 1. 선형대수

벡터
행렬
벡터 공간
고유값문제
선형변환
직교성,대각화
선형대수 수치방법
 > 벡터 1. 벡터

벡터-기초
벡터의 크기,각도,거리,직교,투영
벡터해석-벡터미적분
 > 벡터-기초 1. 벡터
2. 스칼라
3. 벡터 상등
4. 벡터 연산
5. 벡터 종류
6. 정규화,단위 벡터
7. 좌표 벡터
8. 방향 여현

     
기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
확률/통계
수치해법
 > 대수학 1. 대수학

기초대수학
선형대수학
추상대수학
 > 선형대수학 1. 선형대수

벡터
행렬
벡터 공간
고유값문제
선형변환
직교성,대각화
선형대수 수치방법
 > 벡터 1. 벡터

벡터-기초
벡터의 크기,각도,거리,직교,투영
벡터해석-벡터미적분
     
1. 벡터 (Vector)

  ㅇ 이공학 분야에서 많이 사용되는 수학적인 양(量) 표현 기법
     - 거리,무게,속력 등 크기만을 나타내는 1차원적인 양(量)인 스칼라와는 달리,
     - ,속도 등과 같이 양(量,크기) 및 방향(方向) 등 2차원 이상의 원소(요소)들에
       의해 표현이 가능


2. 벡터에 대한 여러 정의들기하학적인 측면    : 유향선분
     - 크기 및 방향에 의한 표현
        . 例) ,모멘트,변위,속도,가속도,운동량,열유동 등

  ㅇ 원소들의 나열 측면 : 수 또는 함수들의 나열
     - 실수 또는 복소수 또는 함수를 원소(성분)로 갖는 순서쌍(Ordered Pair/n-tuple)
        . 例) 좌표, 벡터 함수 등

  ㅇ 벡터공간 상에서 대수적 성질을 갖는 대상 : 추상적 대상(object)
     - 대수적 성질을 공리로 이용한 추상 벡터공간 내의 대상
        . 例) 무한 실수 수열, 연속 함수, 행렬 등도 벡터 형태로 볼 수 있음


3. 벡터의 표기 기하학적 측면 :  시작점과 끝점(통상,작용점)을 연결하는 유향선분으로 표시
     - 벡터는 획이 굵은 활자체 문자 또는 문자 위에 윗 화살표를 그어 표기
       대수적 측면   :  소문자 볼드체로 표시
     


4. 벡터의 특징

  ㅇ 수학적 도구
     - 벡터는 대수학적인 면과 기하학적인 면 모두를 가진 수학적 도구.

  ㅇ 일반화된 표현
     - 벡터는 좌표계와 무관하게 기하학적 정리,물리법칙,이론들을 표현할 수 있음.

  ㅇ 간결성
     - 벡터는 벡터 미분연산자 등을 이용하여 간결하고 일반적인 방법으로 표시하기가 용이함.


5. 기하학에서의 벡터 (벡터에 대한 기하학적인 접근방법)

  ㅇ 벡터의 기하학적 표현 
     - 화살꼴(arrow) 또는 방향선분(directed line segment) 표현
        . 벡터를 기하학적  길이(크기)와  방향을 갖는 양(量)으로 표현
           .. 시작점 및 끝점에 의한 유향선분(有向線分)으로 크기 및 방향을 표현
     - 벡터를 그 크기 및 두 벡터 간의 각도에 의해서도 표현하기도 함 (극좌표 표현)
     - 例) 위치 벡터, 거리 벡터, 장(場) 벡터 등

  ㅇ 벡터의 차원(Dimension)
     - 기하학적 벡터 개념은 물리학/공학에서 대부분 2차원(R2), 3차원(R3)에서 이루어지나,
     - 보다 고차원 공간(Rⁿ)에서의 벡터로 확장될 수 있음


6. 대수학에서의 벡터 (벡터에 대한 대수학적인 접근방법)
     
  ㅇ 벡터의 성분 
     - 벡터를 어떤 좌표축의 성분들인 수의 대수적 집합으로 표현할 수 있음
        . 벡터의 원소를 성분(component)이라고 함

  ㅇ 벡터의 차원
     - n-차원 벡터
        . n개의 원소를 갖는 벡터 = n개 원소를 갖는 순서쌍(n-tuple)
        . 주로, 수직 열벡터(Column Vector)로 표현됨

          

  ㅇ 벡터를 보다 추상적인 개념으로 확장이 가능 
     - 대수학에서 말하는 벡터는, 기하학적 벡터 개념에서의 확장 임
        . `벡터 공간`이라는 정의 내에서의 대상(object)를 말함
           .. 이 경우에 함수(Function)도 벡터로 볼 수 있음
     - [참고] ☞ 벡터공간(Vector Space), 행렬(Matrix), 대수구조, 유한체 등 ...


7. 벡터의 연산

  ㅇ 벡터의 상등(동등)  ☞ 벡터 상등 참조

  ㅇ 벡터의 크기노름 참조

  ㅇ 벡터의 정규화벡터 정규화, 단위 벡터 참조

  ㅇ 벡터의 대수적 연산 (선형 연산)      ☞ 벡터 연산 참조
     - 벡터의 덧셈
     - 벡터의 곱셈 (스칼라곱셈,내적,외적,직접곱)

  ㅇ 벡터의 미분,적분
     - 벡터 함수   : 임의의 점에서 벡터로 주어지는 함수 F(t) = ( f₁(t), f₂(t), f₃(t) )
     - 주요 연산자 : 기울기 연산자, 발산 연산자, 회전 연산자 등 참조
     - 벡터 미분연산자 : 델 연산자 ∇ 등


8. 주요 벡터

  ※ ☞ 벡터 종류 참조
     - 위치 벡터, 변위 벡터, 법선 벡터, 방향 벡터, 동경 벡터, 영 벡터, 단위 벡터


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[ 벡터 ]1. 벡터  
      [벡터-기초] [벡터의 크기,각도,거리,직교,투영] [벡터해석-벡터미적분]

 
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