Polar Coordinate   극 좌표계

(2016-07-20)

극 좌표

기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
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수치해법
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 > 좌표계 1. 좌표계
2. 직각 좌표계
3. 극 좌표계
4. 원통 좌표계
5. 구 좌표계
6. 직교 좌표계
7. 기저벡터 좌표계
8. 경로 좌표계

     
기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
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수치해법
 > 해석학(미적분 등) 1. 해석학

미분적분
미분방정식
 > 미분적분함수
극한,연속,기울기
미분
적분
곡선 표현
미분적분 응용
 > 곡선 표현 1. 매개변수 방정식
2. 곡선 길이
3. 극 좌표계
4. 원뿔곡선
5. 타원
6. 쌍곡선
7. 이심률
8. 곡률
9. 편평률

     
1. 극 좌표계 (Polar Coordinate System)

  ㅇ 극점(원점)으로부터 `유향 거리(r)`와 `유향 방향(θ)`으로 정하는 2차원 평면 좌표계
     
     -  O      : 원점(origin) 보다는 극점(pole) 이라는 용어를 더 많이 씀
     -  r      : 극점 O로부터 점 P까지의 유향 거리(directed distance)
     -  θ     : 시계반대방향의 유향 각도(directed angle)
     - P(r,θ) : 극좌표 점


2. 극좌표계 성질 직각좌표계에서는 좌표 (x,y)는 유일하지만, 극좌표계에서는 유일하지 않음
     - 例) (r,θ)와 (r,2π+θ)는 같은 점

  ㅇ 음(-)의 길이,각도 표현 가능
     - 例) (r,θ) = (-2,-π/3) : 길이가 -2 이고 각도가 -π/3 인 좌표점


3. 좌표 변환 및 관계 (극좌표계 ↔ 2차원 직각좌표계)

  ㅇ (직각좌표 → 극좌표)  r2 = x2 + y2,  tan θ = y / x

  ㅇ (극좌표 → 직각좌표)  x = r cosθ,  y = r sin θ


4. 극좌표계 미분 요소

  ㅇ 선 요소 : 

  ㅇ 면 요소 : 


5. 벡터의 극좌표 표현

   직각좌표계와 달리, 
     - 축방향 단위벡터 ur,uθ는 위치에 따라 그 방향이 달라짐

  ※ [참고] 극좌표계에 의한 속도,가속도 (벡터 미분) 표현 ☞ 등속 원운동 벡터 표현 참조


6. 복소수/복소변수의 극좌표 표현복소수 표현 형태
     - 직교좌표형 (Cartesian Form)      :   z = x + jy
     - 극좌표형/극형식 (Polar Form)     :   z = r ∠θ = r (cosθ + j sinθ)
     - 복소지수형 (Complex Exponential) :   z = r e
        . 여기서, r = √(x2 + y2) : 복소수 크기(Magnitude) 또는 절대값(Modulus),
                 θ = arg z : 편각(Argument)

  ㅇ 복소 주파수/복소 변수 :  z = r e
     
     - 여기서, ω는 각주파수


[ 좌표계 ]1. 좌표계  2. 직각 좌표계  3. 극 좌표계  4. 원통 좌표계  5. 구 좌표계  6. 직교 좌표계  7. 기저벡터 좌표계  8. 경로 좌표계  
[ 곡선 표현 ]1. 매개변수 방정식  2. 곡선 길이  3. 극 좌표계  4. 원뿔곡선  5. 타원  6. 쌍곡선  7. 이심률  8. 곡률  9. 편평률  

 
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