Power Series   멱 급수, 거듭제곱 급수

(2015-08-28)
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3. 피보나치 수열
4. 급수
5. 급수 수렴
6. 급수 공식
7. 멱 급수
8. 멱급수 공식
9. 테일러 급수
10. 푸리에 급수
11. 수열 종류

     
1. 멱 급수,거듭제곱 급수 (Power Series)

  ㅇ 각 항이 멱함수 (x-x0)n다항식 형태로 된 무한급수 (무한개 항을 갖는 다항식)
     - 例) 상수 계수를 갖는 다항식 형태의 무한급수 
       
        . x0 : 중심, cn : 상수 계수, x : 변수
        . x0, cn, x 는 일반적으로 복소수일 때가 많음


2. 멱급수 주요 용도초등함수역 도함수(적분)를 구할 수 없을 때
  ㅇ 미분방정식 풀이급수 해법 참조
  ㅇ 함수다항식으로 근사시킬 때   ☞ 멱급수 전개, 다항식 근사 참조


3. 멱급수에 의한 함수의 표현

  ㅇ 어떤 구간에서 멱급수에 의해 함수를 정의할 수 있음
     - 모든 해석함수테일러 급수라고하는 거듭제곱 급수로 표현 가능 (테일러 전개)
        . 멱 급수(거듭제곱 급수)는 대표적인 해석함수(Analytic Function) 임

  ㅇ 특히, 자연 과학에서 나오는 중요 함수들이 멱급수에 의해 표현이 가능함
     - Bessel 함수

  ㅇ 각 항이 (x-a)n멱함수 급수 형태가 아닌 다른 형태의 급수 
     - 사인함수/코사인함수로된 삼각급수, 푸리에급수
4. 멱급수 수렴

  ㅇ 주로,  x 값에 의존함
     -  x = x0 에서 반드시 수렴함
        . 즉, x = x0 에서 상수 항 c0를 제외하고는 모든 항이 0 이 되기 때문

  ㅇ 멱급수 ∑cn(x-x0)n수렴하는 3가지 경우
     - x = x0 에서 만  수렴
        . 별로 유용한 멱급수가 아님
     - 모든 실수 x에 대해 수렴
        . 수렴구간이 전체 실수인 경우와 같음
     - 수렴 반지름 내에서 수렴하고, 그 밖에서 발산수렴구간/수렴역 (region of convergence, ROC)
     - 멱급수가 수렴하는 x의 범위
        . 즉,  (x0 - R, x0 + R)
     - 모든 멱급수는 수렴구간을 갖음

  ㅇ 수렴반경 (radius of convergence)  R
     - 멱급수 ∑cn(x-x0)n 이
        .  |x - x0| < R 이면 수렴
        .  |x - x0| > R 이면 발산
     - 만일,
        . 중심 x0에서만 수렴한다면,  R = 0
        . 모든 x에서 수렴한다면,  R = ∞
     - 수렴반경은 비율판정법 등에 의해 구할 수 있음

     

  ㅇ 멱급수 수렴 판정
     - 주로 비율판정법(Ratio Test)을 사용함

  ※ 급수의 수렴(Series Convergence) 참조


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