Taylor Series, Taylor Expansion, Maclaurin series   테일러 급수, 매클로린 급수

(2016-10-13)

Taylor Polynomial, 테일러 다항식, Taylor Approximation, 테일러 근사

1. 테일러 급수 전개 (Taylor Series Expansion)함수에 대해 근사 함수에 의해 급수로 표현하는 방법
     - 수치적으로 정확하게 다루기 어려운 함수들에 대해 다항식으로 근사화(다항식 근사)
        . 항상, 매끄러운(해석적) 함수에 대해서는 멱급수(또는 다항식) 형태로 전개 가능

  ㅇ 테일러 급수 전개 표현
     - 급수의 각 항 계수들이 그 함수도함수와 관련되어짐
        . 만일, f(x)가 중심 a에서 해석적(무한번 미분가능 등)이면 다음과 같이 표현 가능 
          
       . (위 식은, 중심 a에 관한 어떤 개구간에서도 성립됨)

  ※ Brook Taylor (1685~1731) : 영국 수학자 (Newton의 스승)


2. 어떤 한 점의 함수값에 대한 멱급수 근사

  ㅇ 테일러 급수(Taylor Series) 근사
     - 어떤 한 점의 함수값에 대해, 중심점 a에서의 함수값과 그 미분값들로 표현 가능
       

  ㅇ 매클로린 급수(Maclaurin series) 근사
     - 중심 a = 0 일 때의 테일러급수  
       


3. 테일러 다항식(Taylor Polynomial) : Tn(x)

  ㅇ 테일러 급수를 유한개 항의 다항식 만으로 나타낸 것
     -  n번째 만의 급수 합
       근사값 계산에 이용됨
     -  n → ∞ 이 됨에 따라, Tn(x) → f(x)


4. 테일러 다항식 근사 방법

  ㅇ x = xi+1 근방에서 f(x)에 대한 근사를 x = xi를 중심으로 근사하는 例
     

  ㅇ f(x) = Tn(x) + Rn(x)

     -  Tn(x) : 테일러 다항식
        

     -  Rn(x) : 테일러 급수의 나머지항(remainder)으로 오차의 크기와 관련됨
        


5. 주요 멱급수(Maclaurin 급수) 표현   ☞ 급수 공식 참조

   


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