Series, Infinite Series   급수, 수열의 합, 무한 급수

(2018-07-28)

Arithmetic Series, 등차 급수, Geometric Series, 등비 급수, 기하 급수, 조화 급수, 교대 급수

1. 급수 (Series) 이란?

  ㅇ [ 수학 ]      순서화수열의 합

  ㅇ [ 신호처리 ]  주어진 신호를 다른 신호들의 가중 합으로 나타낸 것


2. 급수의 유용성

  ㅇ 다양한 수,함수를 수많은 항들의 합으로 표현 가능 (계산,해석에 유용함)
     - 보다 복잡한 함수(초월함수 등)를 간단한 함수(초등함수)의 급수로 표현 가능 (즉, 근사화)

  ㅇ (수의 급수 표현)  순환 소수(素數), π, e 의 표현 등에 이용됨
     

  ㅇ (함수의 급수 표현)
     - 미분방정식 풀이급수 해법 참조

  ㅇ (기타)
     - 적분의 계산, 푸리에급수에서의 이용, 
       여러 특수함수(르장드르 함수,베셀 함수 등)의 분석 등


3. 급수의 구분

  ㅇ 유한,무한 급수
     - 유한 급수 (Finite Series)
        . 항의 수가 유한개
     - 무한 급수 (Infinite Series)
        . 항의 수가 무한개 (무수히 많은 실수들의 합을 나타냄)

  ㅇ 등차급수 (Arithmetic Series) : 각 항 간의 차(差)가 일정   
     - 
        . a1 : 첫항, an : 끝항, d : 공차, n : 항의 수
     * [참고] ☞ S/W 구현 예시

  ㅇ 등비급수/기하급수 (Geometric Series) : 각 항 간의 비(比)가 일정
     * 앞의 항에 일정한 수를 곱하여 다음 항이 됨
     - 유한 등비급수 (기하급수)
        .   S = a + aㆍr1 + aㆍr2 + aㆍr3 + ... + aㆍrn-1 = a (1-rn ) / (1-r)
     - 무한 등비급수 (무한 기하급수)
        .   S = a + aㆍr1 + aㆍr2 + aㆍr3 + ... =  a / (1-r)

  ㅇ p 급수
     
     - p > 1 일 때 : 수렴, 0 < p ≤ 1 일 때 : 발산

  ㅇ 조화급수 (harmonic series)
     
     - p = 1 인 p 급수(조화급수) 일 때 : 발산

  ㅇ 일반 조화급수
     

  ㅇ 교대급수 (alternating series)
     - 양수와 음수가 교대로 나타나는 급수
        상수항 급수, 변수항 급수
     - 상수항 급수 : 각 항이 상수로 만 구성 
     - 변수항 급수 : 각 항이 변수로 구성 

  ㅇ 각 항을 구성하는 함수 형태에 따라
     - 멱 급수 (Power Series)
        . 각 항들이 xn 또는 (x-a)n 형태를 갖는 무한급수
     - 테일러 급수 (Taylor Series)
        . 어떤 한 점에서의 함수 값을 중심점 a에서의 함수값과 미분값들로 표현한 급수
     - 푸리에 급수 (Fourier Series)
        . 각 항들이 사인함수,코사인함수로 이루어진 급수
     - 베셀 급수 (Bessel Series)
        . 각 항들이 베셀함수로 이루어진 급수
     - 르장드르 급수 (Legendre Series)


[수열,급수] 1. 수열 2. 수열 관련 용어 3. 피보나치 수열 4. 수열 종류 5. 급수 6. 급수 수렴 7. 급수 공식 8. 멱 급수 9. 멱급수 공식 10. 테일러 급수 11. 푸리에 급수
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