Characteristic Equation, Auxiliary Equation, Characteristic Polynomial   특성 방정식, 보조 방정식, 특성 다항식

(2022-05-31)

Characteristic Root, 특성방정식 근, 특성 근, Chracteristic Vaue, 특성 값


1. 특성 방정식 (Characteristic Equation) / 보조 방정식 (Auxiliary Equation)시스템(특히,선형시스템)의 고유한 특성을 나타내는 방정식


2. 특성 방정식에 대한 여러 동등한 정의식

  ㅇ [미분방정식]  선형 동차 미분방정식 해와 관련된 대수적 방정식

     -  상수 계수를 갖는 선형 동차 미분방정식(즉, LTI 시스템)으로부터, 
     -  일반해지수형태의 해 x(t)=eλx의 형태를 가질 것으로 기대되어, 
     -  이를 해(解)로써 대입하였을 때,
     -  해당 미분방정식을 만족시키게되는 방정식

  ㅇ [행렬/고유값]  정방행렬 A (시스템행렬)의 특성 방정식

     -   det(A - λI) = 0      : 특성 방정식
        . P(λ) = det(A - λI) : 특성 다항식 (Characteristic Polynomial)
        . det() : 행렬식 (Determinant)

     -  일반적으로, 다음과 같이 λ의 방정식 형태를 갖음
        . λn + c1n-1 + ... + cn = 0

     - 이때, 이 특성방정식을 만족하는 λ의 값을 고유값(특성근) 이라고 함

  ㅇ [제어계 전달함수]  폐루프 전달함수의 분모 다항식을 영으로 놓은 것

     -   T(s) = p(s)/q(s) = G(s)/{1 + G(s)H(s)} 에서 분모가 `0`
        . 즉, q(s) = 0 또는 1 + G(s)H(s) = 0 (특성 방정식)
           .. q(s) 또는 1 + G(s)H(s) : 특성 다항식(Characteristic Polynomial)

     - 이때, 전달함수의 분모 다항식근(根)을, 극점(Pole) 이라고 함
        . 이 극점(특성근)은, 제어계과도응답 특성에 관한 많은 정보를 줌

  ㅇ [상태방정식]  전달함수행렬에서 분모를 영으로 놓은 것

     -   |sI - A| = det(sI - A) = 0
        . 여기서, A : 시스템 행렬


3. 특성 방정식의 유도 例선형 미분방정식 으로부터 ⇒ 특성방정식 유도
     - 미분방정식미분 연산자를 대입시켜 유도
        .  상수계수의 2계 제차 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = 0 에서
        .  다음과 같이 해를  y = eλx, y′= λeλx, y″= λ2eλx가정하여 대입하면,
        .  aλ2eλx + bλeλx + ceλx = 0  ->  eλx(aλ2 + bλ + c) = 0
        .  여기서, eλx가 0 이 될 수 없으므로,
        .  결국, 미분방정식을 만족시킬 수 있는 유일한 방법은 aλ2 + bλ + c = 0
        .  이때의 aλ2 + bλ + c = 0 를 특성방정식이라고 함

  ② 전달함수 로부터  ⇒ 특성방정식 유도
     - 전달함수 분모다항식을 0 으로 놓고 유도
        .  상수계수의 2계 선형 미분방정식 ay″+ by′+ cy = dx″+ ex′+ fx 에서
        .  미분연산자 sk = dky/dtk를 대입하면,
        .  (as2+bs+c)y(t) = (ds2+es+f)x(t)
        .  시스템 전달함수는 H(s) = (ds2+es+f)/(as2+bs+c)
        .  결국, 전달함수의 분모 다항식을 0으로 놓으면 특성방정식이 얻어짐

  ③ 시스템 행렬 로부터  ⇒ 특성방정식 유도
     - 例) 
[# A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} #]
.
[# \begin{bmatrix} sI - A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix} #]
. 특성방정식 : {# \det(sI - A) = s(s+3) + 2 = s^2 + 3s + 2 #} . 특성근(고유값) : {# s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2) = 0 \quad s = -1, \; s=-2 #} 4. 특성방정식의 근/해 = 특성근(Characteristic Root) = 고유값(Eigenvalue) ㅇ 특성방정식은, 고유응답의 특성을 나타내는데 필요한 모든 정보를 갖게됨 - 고유응답 : 회로 또는 시스템의 일반적인 성질(구성 소자의 종류, 크기, 연결구조 등)을 나타냄 ※ 이는, 선형시스템 해석 및 풀이에 중요한 역할을 함 - [참고] ☞ 고유치(Eigenvalue), 고유주파수(Eigen Frequency), 극점(Pole) 등 참조

2계(고계) 미분방정식
   1. 2계 미분방정식   2. 론스키안   3. 보조방정식,특성방정식   4. 선형 결합   5. 코시-오일러 방정식   6. 미분 연산자   7. 선형 연립 미분방정식  
고유값문제
   1. 고유값 문제   2. 고유값 문제 용어   3. 고유값,고유벡터   4. 고유 공간   5. 고유 함수   6. 특성 방정식   7. 거듭제곱법   8. 닮음 행렬   9. 대각화  


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