Homogeneous Function, Homogeneous Differential Function, Homogeneity   동차 함수, 동차 미분방정식, 동차성, 비례성, 동질성

(2017-03-12)

제차 미분방정식

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4. 완전 미분방정식
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1. 동질성/동차성/비례성 (Homogeneity,Scaling)

  ㅇ [물질] 동질성
     - 밝기,무늬,질감 등 물성 특징들이 유사함       ☞ Homogeneous Material 참조

  ㅇ [수학] 비례성,동차성         ☞ 선형성(중첩의 원리),기하학적 선형변환(비례변환) 참조
     - 출력 크기가 입력 크기에 `단순 비례적`    
        . 원인이 α배 증가하면 효과도 α배로 증가함
           ..  T[αx(t)] = αT[x(t)]
     - 비동차성의 例) y(t) = a x2(t),  y(t) -1 = x(t) 등
        . `단순 비례적`이 아닌, `지수 비례적`,`상수 더하기(평행이동)` 등의 효과

  ㅇ [그래픽 표현]                ☞ 동차 좌표 (Homogeneous Coordinate) 참조
     - 사영 기하학에서 무한원점을 취급이 쉽도록 한 좌표


2. [수학]  동차 함수(Homogeneous Function) 또는 동차 다항식함수 또는 다항식에서 각 항의 차수(degree)가 같은 것
     - 즉, 조건  f(λx,λy) = λn f(x,y)을 만족하는 것

     - 例) f(x,y) = x2 + 3xy + y2 ⇒ f(λx,λy) = λ2x2 + λ2(3xy) + λ2y2 = λ2 f(x,y)
        . 이 경우의 f(x,y)는, 각 항이 모두 2차인 2차 동차 함수 또는 동차 다항식
3. [수학]  동차 방정식 (Homogeneous Equation)

  ㅇ 동차 함수 f(x1,x2,...,xn)에 대한 방정식 형태가 f(x1,x2,...,xn)=0 인 것


4. [수학]  동차 또는 제차 미분방정식 (Homogeneous Differential Equation)

  ㅇ n계 상미분방정식 형태
     

     - 표준형(standard)                     : 최고 계수(order) 항이 상수인 형태 
        . 즉, y(n) 항의 계수(coefficient)가 상수

     - 제차형/동차형(homogeneous)           : 위 방정식에서 우변이 0 인 형태 
        . 즉, R(x) = 0
           .. 
        . 독립변수 x 만의 함수로된 항이 없는 경우
           .. 미지함수를 포함하지 않은 항이 0인 경우

     - 비 제차형/비 동차형(non-homogeneous) : 위 방정식에서 우변이 0 이 아닌 형태 
        . 즉, R(x) ≠ 0
           .. 여기서, R(x)는 종속변수 y 및 그 도함수를 포함하지 않고 독립변수 x 만으로 됨
        . 독립변수 x 만의 함수로된 항이 있는 경우
           .. 미지함수를 포함하지 않은 항이 0아 아닌 경우


5. [수학]  (1계 1차) 동차 미분방정식 (Homogeneous Differential Equation)

  ㅇ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
     - 위 식에서 M(x,y),N(x,y)가 같은 차수의 동차함수일 때

  ㅇ 특징
     - 동차 미분방정식은 y=ux 또는 x=vy와 같은 간단한 대수적 치환으로 
       변수분리형 미분방정식으로 바꾸어서 풀 수 있음

  ㅇ 풀이방법
     -  y=ux 를 이용하여 변수분리형 미분방정식으로 변화시킴
        .  y=ux 양변을 미분하면
           
        .  한편, 미분방정식에 y=ux를 대입하면
           
        .  M,N이 n차 동차함수이면
           
        .  이 식은 다음과 같이 변수분리형 미분방정식이 됨
           
     -  또한, x=vy 를 이용하여 변수분리형 미분방정식으로 변화시키면
           


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