BVP   Boundary Value Problem, Boundary Condition   경계값 문제, 경계 조건

(2017-02-17)
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  2. (초기값문제) 해의 존재성,유일성
  3. 경계값 문제
  4. (경계값문제) 해의 존재성,유일성

1. 경계 조건 (Boundary Condition)

  ㅇ 어떤 일정한 구간 양끝에서 미분방정식 해가 만족해야하는 조건
     - 미분방정식일반해에 포함되는 임의 상수를 정하는데 필요함
        . 영역의 경계(각기 다른 여러 개의 점)에 부과되는 조건

  ㅇ 한편, 초기조건도 경계조건 중의 하나로 간주될 수 있음


2. 초기값문제,경계값문제 비교초기값 문제 : 단 하나의 점에 대한 조건이 제시됨
     - 例 :  y”+ y = 0,  y(0) = 0,  y'(0) = 1

  ㅇ 경계값 문제 : 1 이상의 점에 대한 조건이 제시됨
     - 例 :  y”+ y = 0,  y(0) = 0,  y(π) = 0


3. 경계조건 형태의 유형들

  ㅇ Dirichlet 경계조건 :  u(a) = 0 , u(b) = 0 
  ㅇ Neumann 경계조건   :  u'(a) = 0 , u'(b) = 0 
  ㅇ Robin 경계조건     :  α1u(a) + α2u'(a) = 0 , β1u(b) + β2u'(b) = 0 


4. 경계값 문제 (Boundary Value Problem)

  ㅇ 경계조건들을 갖는 미분방정식에서, 그 경계조건을 만족하는 해를 구하는 문제

  ㅇ 종속변수 y 및 그 도함수가 각기 다른 점에서 지정되는 2계 이상의 미분방정식의 경우
     

  ㅇ 2계 선형 미분방정식 경계값문제 형태들
           


5. 경계값 문제가 자주 나타나는 곳

  ㅇ 어떤 영역 경계에서의 경계조건(전하,전위) 만을 알고서,
     - 영역 전반에 걸친 장(場)의 분포(전위 분포,전계 분포)를 구하는 문제

  ㅇ 편 미분방정식 풀이에서 주로 등장

  ※ 참고용어 ☞ 포아송방정식,라플라스방정식
6. 경계값문제 해의 성질

  ㅇ 일반적으로, 2계 미분방정식초기값문제는,
     - 계수함수 p2(x),p1(x),p0(x)가 연속이고 p2(x)≠0이면, 유일한 해를 갖게됨

  ㅇ 그러나, 경계값문제는,
     - 미분방정식 및 경계조건이 조금만 변해도, 그 해의 성질이 크게 달라짐 
        . [참고] ☞ 도파관 전파모드 등 참조


7. 경계값 문제에서 해의 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness)

  ※ ☞ 경계값문제 해의 존재성 및 유일성 참조


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