Calculus of Variations, Variational principle, Variational Method   변분법, 변분 원리

(2016-09-20)

Functional, 범함수

1. 변분법, 변분 원리

  ㅇ 변분법/변분학 (Calculus of Variations)
     - 특정한 어떤 적분값이 최대 또는 최소가 되는 함수를 찾는 문제를 다룸
        . 어떤 조건에 맞는 변수 값을 찾기 보다는, 
        . 적절한 함수곡선을 찾는 최대/최소 문제 또는 최적 문제

     - 미적분학의 일종이지만, 
        . 미적분학과는 달리, 함수변수로하는 범함수(Functional)를 취급

     - 주로, 최대(maxima),최소(maxma)를 다루는 문제/이론  ☞ 최적 문제 참조   

  ㅇ 변분원리 (Variational principle)
     - 여러 과학법칙을 변분법과 관련시켜 일반원리로 공식화한 것


2. 변분법 문제

  ㅇ 어떤 적분을 최소화 또는 최대화시키는 함수를 구하는 것
     - 적분 범함수(Integral Functional)의 값을 최소화,최대화하는 문제
       
        . 여기서, I는 정상값으로 취하게 될 양
                  F는 제시된 변수들로써 알려지는 함수

  ㅇ 미분적분학,변분법 문제 비교
     - 미분적분학에서 극값 문제
        . 주로 몇개의 독립변수의 함수의 극값을 찾는 문제
     - 변분법에서 극값 문제
        . 범함수 자체 극값을 찾는 문제

  ㅇ 미분방정식을 적분하여, 등가적인 변분법 문제로 변환 가능


3. 변분법의 수치적 방법 종류모멘트법 (MOM, Method of Moments)
  ㅇ 유한요소법 (FEM, Finite Element Method)


4. 변분법 관련 용어

  ㅇ 범함수 (Functional)
     - 함수를 변수로 갖는 함수
        . 보통의 함수와는 달리, 독립변수가 숫자가 아닌 함수 즉 함수의 함수
     - 함수 집합 위에서 정의되고, 그 값이 실수 또는 복소수를 취하는 함수
     - 정의역이 함수들의 공간인 함수 

  ㅇ 최대값(Maximum), 최소값(Minimum), 극값(Extremum)
     - 최대값 : 함수 f가 최대가 되는 값
     - 최소값 : 함수 f가 최소가 되는 값
     - 극값   : 함수 f가 최대 또는 최소인 값

  ㅇ 정상값/정류점/정상점 (Stationary Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점)
        . 최대점,최소점,수평 변곡점을 말함
     - 대개, 정류점에서 극값을 갖음


[미분적분 응용]1. 함수의 증가 감소  2. 평균값 정리  3. 최적 문제  4. 변분법  
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            1.   1. 함수의 증가 감소
                2. 평균값 정리
                3. 최적 문제
                4. 변분법
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