Optimal Problem, Optimization Problem   최적 문제, 최적화 문제

(2016-12-19)

최적화, 임계값

기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
확률/통계
수치해법
 > 해석학(미적분 등) 1. 해석학

미분적분
미분방정식
 > 미분적분 1. 미분적분학

함수
극한,연속,기울기
미분
적분
직선,곡선,곡면
미분적분 응용
 > 미분적분 응용 1. 함수의 증가 감소
2. 평균값 정리
3. 최적 문제
4. 변분법

     
기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
정수론(수론)
해석학(미적분 등)
대수학
확률/통계
수치해법
 > 수치해법 1. 수치 해석
2. 천장,마루 함수

오차
근,최적화
곡선적합
수치 미분/적분
수치 미분방정식
MATLAB
 > 근,최적화 1. 근 구하기
2. 최적 문제

     
1. 최적 문제/최적화 문제 (Optimal Problem)

  ㅇ [일반]
     - 1 이상의 해답 후보들이 있고, 그 해답 후보 중에 최적 값이 있게되는 문제

  ㅇ [수학]
     - 변수의 어느 영역에서 함수의 극값(최대값 또는 최소값)을 구하는 문제
        . 1 이상의 변수에 의존하는 함수의 최대값 및 최소값을 찾는 것

     - 한편, `근 구하기 문제`는 함수 방정식의 근을 찾는 문제이나,
             `최적화 문제`는 함수의 최소(최대) 값을 찾는 문제임
        . f´(x) = 0 은 최적점임(곡선 위의 평탄한 점)을 나타내며,
        . f˝(x) = 0 은 최소값(f˝(x) > 0)인지 최대값(f˝(x) < 0)인지를 나타냄

  ※ [응용]
     - 공학,경제,물리 등 많은 분야에서 다양한 응용을 갖음
        . 성능과 제약조건 사이에서 이해득실(상충관계)를 따져야하는 수많은 설계 최적화 문제

     - 원하는 어떤 조건(함수값을 최소화 또는 최대화)을 만족시키는 최적의 변수 값을 찾는 문제
        . 例) 차량의 연료 소모를 최소화하는 이동 경로를 찾는 문제 등

     - `최적화 문제`는 때로는 `수학적 프로그래밍(Mathematical Programming)`이라고도 불리움


2. 최적화 문제 구분

  ㅇ 목적함수 및 제약조건(구속조건)이 선형적 여부
     - 목적함수 및 구속조건이 선형적             : 선형 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 2차 함수이고 구속조건이 선형적 : 2차 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 선형도 2차 함수도 아니거나 또는 구속조건이 비선형 : 비선형 프로그래밍 문제

  ㅇ 제약조건(구속조건) 여부
     - 구속 최적화(Constrained Optimization) 문제 
        . 목적 함수 외에 파라미터가 만족해야 할 별도의 제약조건이 있는 경우
     - 비구속 최적화(Unconstrained Optimization) 문제
        . 별도의 제약조건이 없는 경우

  ㅇ 차원 여부
     - 일차원 최적화 문제 : 목적함수가 1개의 종속변수에 만 의존
     - 다차원 최적화 문제 : 목적함수가 2 이상의 종속변수에 의존


3. 최적화 문제 관련 주요 용어/개념

  ㅇ 최대,최소 존재 정리
     - 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이면, f는 [a,b]에서 반드시 최대값과 최소값을 갖음

  ㅇ 최대값, 최소값, 극값
     - 최대값 : 변수 영역에서 함수 f가 최대가 되는 값
     - 최소값 : 변수 영역에서 함수 f가 최소가 되는 값
     - 극값   : 변수 영역에서 함수 f가 최대 또는 최소인 값

  ㅇ 대상 함수/목적 함수 (Objective Function)
     - 최대값 또는 최소값을 구하려는 대상이되는 함수
     - 최적화 문제에서 목적하는 바가,
        . 어떤 목적 함수 값을 최적화(최대화 또는 최소화)시키는 파라미터(변수) 조합을 찾는 것임

  ㅇ 정류점,정상점 (Stationary Point)
     - 어떤 점 c에서 f´(c) = 0 (접선이 수평인 점)
        . 대개 정류점에서 극값을 갖음

  ㅇ 특이점 (Singular Point)
     - 어떤 점 c에서 f´(c)가 존재하지 않는 점 (미분 불가능)
        . 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
              심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등

  ㅇ 임계점,임계값 (Critical Point,Critical Value)
     - 구간 끝점, 정류점, 특이점들을 모두 일컫는 용어
        . 특이한 상태나 급격한 변화가 일어나는 임계 상태에 있을 때의 값
           .. 例) 디지털통신 수신기에서 `0`,`1`을 판정하는 기준인 임계값 수준

  ㅇ 변분법 (Calculus of Variations)
     - 함수 값의 최소화를 다루는 수학적 문제를 지칭함


[ 미분적분 응용 ]1. 함수의 증가 감소  2. 평균값 정리  3. 최적 문제  4. 변분법  
[ 근,최적화 ]1. 근 구하기  2. 최적 문제  

 
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