Optimal Problem, Optimization Problem   최적 문제, 최적화 문제

(2016-12-19)

최적화, 임계값

1. 최적 문제/최적화 문제 (Optimal Problem)

  ㅇ [일반]
     - 1 이상의 해답 후보들이 있고, 그 해답 후보 중에 최적 값이 있게되는 문제

  ㅇ [수학]
     - 변수의 어느 영역에서 함수의 극값(최대값 또는 최소값)을 구하는 문제
        . 1 이상의 변수에 의존하는 함수의 최대값 및 최소값을 찾는 것

     - 한편, `근 구하기 문제`는 함수 방정식의 근을 찾는 문제이나,
             `최적화 문제`는 함수의 최소(최대) 값을 찾는 문제임
        . f'(x) = 0 은 최적점임(곡선 위의 평탄한 점)을 나타내며,
        . f˝(x) = 0 은 최소값(f˝(x) > 0)인지 최대값(f˝(x) < 0)인지를 나타냄

  ※ [응용]
     - 공학,경제,물리 등 많은 분야에서 다양한 응용을 갖음
        . 성능과 제약조건 사이에서 이해득실(상충관계)를 따져야하는 수많은 설계 최적화 문제

     - 원하는 어떤 조건(함수값을 최소화 또는 최대화)을 만족시키는 최적의 변수 값을 찾는 문제
        . 例) 차량의 연료 소모를 최소화하는 이동 경로를 찾는 문제 등

     - `최적화 문제`는 때로는 `수학적 프로그래밍(Mathematical Programming)`이라고도 불리움


2. 최적화 문제 구분

  ㅇ 목적함수 및 제약조건(구속조건)이 선형적 여부
     - 목적함수 및 구속조건이 선형적             : 선형 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 2차 함수이고 구속조건이 선형적 : 2차 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 선형도 2차 함수도 아니거나 또는 구속조건이 비선형 : 비선형 프로그래밍 문제

  ㅇ 제약조건(구속조건) 여부
     - 구속 최적화(Constrained Optimization) 문제 
        . 목적 함수 외에 파라미터가 만족해야 할 별도의 제약조건이 있는 경우
     - 비구속 최적화(Unconstrained Optimization) 문제
        . 별도의 제약조건이 없는 경우

  ㅇ 차원 여부
     - 일차원 최적화 문제 : 목적함수가 1개의 종속변수에 만 의존
     - 다차원 최적화 문제 : 목적함수가 2 이상의 종속변수에 의존


3. 최적화 문제 관련 주요 용어/개념

  ㅇ 최대,최소 존재 정리
     - 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이면, f는 [a,b]에서 반드시 최대값과 최소값을 갖음

  ㅇ 최대값, 최소값, 극값
     - 최대값 : 변수 영역에서 함수 f가 최대가 되는 값
     - 최소값 : 변수 영역에서 함수 f가 최소가 되는 값
     - 극값   : 변수 영역에서 함수 f가 최대 또는 최소인 값

  ㅇ 대상 함수/목적 함수 (Objective Function)
     - 최대값 또는 최소값을 구하려는 대상이되는 함수
     - 최적화 문제에서 목적하는 바가,
        . 어떤 목적 함수 값을 최적화(최대화 또는 최소화)시키는 파라미터(변수) 조합을 찾는 것임

  ㅇ 정류점,정상점 (Stationary Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점)
        . 대개 정류점에서 극값을 갖음

  ㅇ 특이점 (Singular Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c)가 존재하지 않는 점 (미분 불가능)
        . 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
              심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등

  ㅇ 임계점,임계값 (Critical Point,Critical Value)
     - 구간 끝점, 정류점, 특이점들을 모두 일컫는 용어
        . 특이한 상태나 급격한 변화가 일어나는 임계 상태에 있을 때의 값
           .. 例) 디지털통신 수신기에서 `0`,`1`을 판정하는 기준인 임계값 수준

  ㅇ 변분법 (Calculus of Variations)
     - 함수 값의 최소화를 다루는 수학적 문제를 지칭함


[미분적분 응용]1. 함수의 증가 감소  2. 평균값 정리  3. 최적 문제  4. 변분법  
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   정수론(수론)
      4.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
              1. 미분적분학
          1.   함수
          2.   극한,연속,기울기
          3.   미분
          4.   적분
          5.   직선,곡선,곡면
          6.   미분적분 응용
            1.   1. 함수의 증가 감소
                2. 평균값 정리
                3. 최적 문제
                4. 변분법
        2.   미분방정식
      5.   대수학
      6.   확률/통계
      7.   수치해법
    2.   물리/화학
    3.   지구,천체 과학
    4.   생명과학
  3.   파동/광학/음향
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전자/전기/제어
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   기계/재료/공업일반
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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