Field (체), Field Axiom   체 (Field), 체 공리

(2017-09-22)

1. 체 (Field)코드(부호) 등을 기술하는데 사용될 수 있는 수학적 대수 구조(Algebraic Structure)
     - 例) 실수 R, 유리수 Q, 복소수 C 와 같은 수 체계(number system)에 대한 추상화

  ㅇ 특정한 성질을 만족하는 2개의 연산이 정의되는 가환환(Commutative Ring)
     - 그 요소들이 집합을 이루면서, 
     - 덧셈과 곱셈 연산 두 쌍(2개 산술연산자)을 사용할 수 있는 구조


2. 체 공리 (Field Axiom) => 11개

  ㅇ 덧셈 연산(+)에 대해 :  < F,+ >
     - 닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(+) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - 항등원(`0`)이 존재 (identity) : a + 0 = a = 0 + a
     - 모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 (inverse) : a + (-a) = 0 = (-a) + a
     - 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a + b) + c = a + (b + c)
     - 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a + b = b + a

  ㅇ 곱셈 연산(x)에 대해 :  < F,· >
     - 닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(x) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - 항등원(`1`)이 존재 (identity) : a·1 = a = 1·a
     - 0 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원이 존재 (inverse) : a a-1 = 1 = a-1 a if a ≠ 0
     - 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a b) c = a (b c)
     - 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a b = b a

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(x) 연산에 대해 :  < F,+,· >
     - 뎃셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립 (distributivity) : a (b + c) = a b + a c 


3. 체, 아벨군,  공리 비교

  ㅇ 체 공리아벨군으로 다시 표현하면,
     - 뎃셈에 대해 덧셈 항등원(0)을 갖는 아벨군
     - 곱셈에 대해 0 이외 원소들(F*)이 곱셈 항등원(1)을 갖는 아벨군
     - 뎃셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립

  ㅇ 체 공리 중 곱셈의 역원 존재 만을 제외한 나머지 공리들을 만족하는 경우 :  환(Ring)


4. 체 공리가 성립하는 例

  ㅇ 실수체 ℝ    : 실수 전체의 집합복소수체 ℂ  : 복소수 전체의 집합유리수체 ℚ  : 유리수 전체의집합


5. [참고사항]

  ㅇ 유한개 원소 만을 갖는 체  ☞ 유한체(갈로이스체) 참조
     - 한편, 유한개의 원소(q개) 만을 갖는 체  : `GF(q) 라고 표기`

  ㅇ 체의 대수적 구조에서 응용상 중요한 성질 : 각 원소(성분)가 역원을 갖음

  ㅇ 벡터공간의 원소들은 벡터(Vector), 체의 원소들은 스칼라(Scalar) 라고 함


[체(Field)] 1. 체(Field) 2. 체(Field) 관련 용어 3. 유한체,갈로아체
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          1.   연산
          2.   군(Group)
          3.   환(Ring)
          4.   체(Field)
            1.   1. 체(Field)
                2. 체(Field) 관련 용어
                3. 유한체,갈로아체
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