Communtative Group, Abelian Group   가환군, 아벨군

(2017-06-08)
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환(Ring)
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2. 가환군
3. 대칭성
4. 대칭 조작
5. 군의 종류

     
1. 가환군(Communtative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)

  ㅇ 아래의 `군(Group)에 관한 4가지 공리`에다가, 

     - ①  연산 * 에 대해 닫혀있음 (closure)
     - ②  연산 * 에 대해 결합법칙 성립 (associativity)
     - ③  연산 * 에 대해 항등원이 존재 (identity element)
     - ④  연산 * 에 대해 각 원소의 역원이 존재 (inverse element)

  ㅇ 추가적으로, 교환법칙(commutative property)까지도 만족하면, 

     - ⑤  즉, a * b = b * a  (a,b ∈ G)  (commutativity)

  ㅇ 위같은 군을  가환군(아벨군)이라고 함

  ※ 아벨(Neils Henrik Abel, 1802~1829) : 노르웨이 수학자


2. 가환군 例)

  ㅇ 例 1) 이진부호 G = {0.1}는 모듈러-2 덧셈(modulo-2 addition)에 대해 가환군 임
     - 모듈러-2 덧셈 : 0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 =1, 1 ⊕ 0 = 1, 1 ⊕ 1 = 1
        . 이항연산 ⊕은 집합 G 안에서 닫혀있음
        . 결합법칙교환법칙 성립
        . 항등원 0, 0의 역원은 그 자신인 0, 1의 역원은 그 자신인 1

  ㅇ 例 2) 덧셈에 대한 가환군        : 정수(整數), 유리수, 실수(實數) 등
     - 정수인 경우를 살펴보면, 
        . 덧셈에 대해 결합법칙교환법칙 성립, 항등원은 0, 원소 a에 대한 역원은 -a

  ㅇ 例 3) 곱셈에 대해,
     - 정수(整數)는 비 가환군 이고,
     - `0`을 제외한 모든 유리수 ( Q* = Q - {0} )는 가환군 임


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