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  Eigenvalue Problem   고유값 문제, 고유치 문제

(2017-09-13)
기초과학 1. 과학

수학
물리/화학
지구,천체 과학
생명과학
 > 수학기초수학
집합,논리
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벡터
행렬
벡터 공간
고유값문제
선형변환
직교성,대각화
선형대수 수치방법
 > 고유값문제 1. 고유값 문제
2. 고유값,고유벡터
3. 고유 공간
4. 고유 함수
5. 닮음 행렬
6. 대각화
7. 특성 방정식
8. 거듭제곱법

     
1. `Eigen` 이란?

  ㅇ 독일어 형용사로써, `고유의`,`특유의`,`특성의` 등의 뜻을 갖으며,
     - 고유 값, 고유 벡터행렬의 본성에 관한 정보를 가지고 있음을 뜻함


2. 고유값 문제 (Eigenvalue Problem)

  ㅇ [선형대수]

     - (문제 제시)
        . 선형방정식 A x = λ x 를 만족시키는 λ에 대해 0 이 아닌 벡터 x 를 찾는 것 
           .. 고유값(Eigenvalue) : 위 등식이 성립하게되는 λi 값
           .. 고유벡터(Eigenvector) : 위 고유값 λi에 대응하는 벡터 x
           .. 고유값 방정식(Eigenvalue Equation) : 위 선형방정식 A x = λ x 를 지칭
           .. 행렬 A : `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐

     - (문제 제시 例)
        . 정방행렬 A 가 주어지고, 어떤 상수 λ 에 대해 위 등식을 만족하는 자명하지
          않는 해(즉, 0 이 아닌 벡터) x 를 구하라.
           .. 즉, A xx상수배가 되는 0 이 아닌 벡터 x 의 존재여부 및 그 해를 찾음

     - (풀이 순서)
        . 정방행렬 (A - λI) 를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ 를 구하고,
        . 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0 를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x 를 구하면 됨

     - (응용 例)
        . 행렬의 대각화에 대한 응용과는 별개로, 
        . 행렬의 본성에 대한 다양한 정보들을 줌


  ㅇ [미분방정식] 

     - 미분방정식 해에 대한 특성 정보를 찾고자 함                ☞ LTI 고유함수 고유값 참조
        . 고유 함수 : LTI시스템을 통과해도 기본성질이 변화하지않는 신호
           .. 例) 지수 함수, 정현 함수 등    
           .. 만일, 입력이 정현파이면, 주파수는 입력과 동일하나, 진폭위상은 달라짐
        . 고유값    : LTI시스템 출력은 특정값에서 고유함수의 복소 상수배가 됨

     - 연립 미분방정식 해를 푸는데 응용 됨
        . 편미분 방정식 해 ☞ Sturm-Liouville Problem 참조


3. 고유값 문제에서 관심을 갖는 특징 例공간적인 문제의 경우,
     - 주로, 고유 벡터의 방향에 만 관심이 있고, 그 크기는 별 관심이 없음

  ㅇ 시간,주파수 문제의 경우,
     - 주로, 고유 함수주파수별로 시스템의 응답이 상수배하는 이득에 관심이 있음


[ 고유값문제 ]1. 고유값 문제  2. 고유값,고유벡터  3. 고유 공간  4. 고유 함수  5. 닮음 행렬  6. 대각화  7. 특성 방정식  8. 거듭제곱법  

 
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