표본분포의 통계적 특성

(2022-01-20)

표본분포에 의한 통계적 추정, 한 표본분포의 통계적 특성


1. 표본 분포에 의한 통계적 추정표본 분포 이란?
     - 모집단에 대한 통계적 추론을 위해, 무수히 많은 기회 표본 집단에 대해, 
     - 표본 통계량을, 확률변수로 취하는, 확률 분포

  ㅇ 그러나, 모집단의 `확률분포 모양` 및 표본의 `표본추출 크기`가 달리 주어지면(알려지면),
     - 그에 따라, 취해지는 표본들의 특성이 달라지게 됨

  ㅇ 따라서, `모집단 확률분포모수에 대한 통계적 추정`을, 
     - 아래와 같이, 경우에 따라 다르게 해야 함


2. `모집단정규분포 일 때`, 표본분포통계적 특성

  ㅇ (분포 모양)
     - 표본평균들의 표본분포  =>  좀더 뽀족한 정규분포를 이룸
         
[# \overline{X}_n \; \sim \; N\left( μ,\;\frac{σ^2}{n} \right) #]
ㅇ (평균) - 표본평균들의 평균 => 모집단 평균과 같아짐 ㅇ (분산) - 표본평균들의 분산 => (모집단 분산 x 1/n)과 같아짐 ㅇ (표준편차 => 표준오차) - 표본평균들의 표준편차 (즉, 표준오차) => (모집단 표준편차 x 1/√n)과 같아짐 . 표준오차 = 표본들의 표준편차에 대한 추정치 = 표본분포 상의 표준편차
[# \text{Std}\left[ \overline{X}_n \right] = σ_{\overline{X}} = \frac{σ}{\sqrt{n}} #]
ㅇ (표준정규분포를 따르는, 표준화 확률 변수 Z) - 이때, 표본추출 확률변수n표준화변수 Z는 표준정규분포를 따름
[# Z = \frac{\overline{X}_n - μ}{\cfrac{σ}{\sqrt{n}}} \; \sim \; N(0,1) #]
3. `모집단정규분포가 아닐 때`, 표본분포통계적 특성표본크기가 클 때 => 중심극한의 정리, 대수의 법칙을 따름 (n이 대략 30 이상) - 표본평균들의 표본분포 => 정규분포에 가까워짐 - 표본평균들의 평균 => (모집단 평균)에 가까워짐 - 표본평균들의 분산 => (모집단 분산 x 1/n)에 가까워짐 - 표본평균들의 표준편차 (표준오차) => (모집단 표준편차 x 1/√n)에 가까워짐 표본크기가 작을 때
[# σ_{\overline{X}} = \frac{σ}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} #]
4. `모분산을 모르는 경우` ※ 모 표준편차 σ를 모르므로, t 분포를 따르는 표준화 확률변수 t로 변환시켜 적용함 ㅇ (t 분포를 따르는, 표준화 확률변수 t)
[# t = \frac{\bar{x}-μ}{\cfrac{s}{\sqrt{n}}} #]
- s : 표본 표준편차 - n - 1 : 자유도

표본 분포
   1. 표본 분포   2. 한 표본분포의 통계적 특성   3. 두 표본분포의 통계적 특성   4. Z 분포   5. t 분포   6. χ² 분포   7. F 분포  


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