체 용어

(2023-08-15)

표수, Characteristic , 확대체, 부분체, Primitive Element, 원시 원소


1. 위수, 표수위수 (order)
     - 의 원소의 갯수 : |F|

  ㅇ 표수 (characteristic)
     * 의 표수는, 0 이거나 소수 임

     - n번 더하여 영원이 되게하는 가장 작은 수
        . 모든 원소 a에 대해서,
        . n·a = a + a + ... + a (a의 n개의 합) = 0 이 되게 하는,
        . 양의 최소 정수 n (최소 자연수)

     - 만일, 이러한 양의 최소 정수가 존재하지 않으면, 표수는 0
        . 표수가 0인 는, 무한체 임
        . 例) 무한체인 Z(정수체), Q(유리수체), R(실수체), C(복소수체)는 표수가 0
           .. 우리가 다루는 대부분의 수체계에서는, 그 표수가 0 임
           .. (즉, 그러한 작은 수는 없음)

     - 만일, 단위원 1을 갖는 환(Ring with Unity)이면,
        . a = 1 즉, n·1 = 0 만 검토하면 충분함

     - 표기 : char(F) = n


2. 확대체 (extension field), 부분체 (subfield), 체의 확대 (field extension)

  ㅇ 주어진 에 원소를 추가하여 얻어지는 더 큰 

  ㅇ 표기  
     - (확대체, 부분체)  :  F ≤ E  (E는 F의 확대체, F는 E의 부분체)
        . 부분체 F는, 확대체 E의 사칙연산에 대해 닫혀있음
     - (체의 확대)  :  C/R, GF(pn)/GF(p) 등으로 표기함.
        . 부분체 및 확대체의 관계

  ㅇ 例) 
     - 복소수체 C는, 실수체 R의 확대체 (C/R)
     - 실수체 R은, 유리수체 Q의 확대체 (R/Q)
     - 복소수체 C는, R,Q 모두의 확대체
     - 또한, C/Q는, 체의 확대를 나타냄

  ㅇ GF(p)의 확대체  :  GF(pn)
     - (응용에서 필수적인 개념임)
     - 임의 정수 n에 대해 GF(p)를 GF(pn)로 확장할 수 있음

  ㅇ GF(pn)의 부분체  :  GF(p) 
     - 원래의 체 안에 포함됨
     - GF(p) 또는 GF(p1)를 소체(prime field)라고도 함

  ㅇ 例) 이진체 : GP(2), 이진 확대체 : GP(2n)


3. 원시 원소 (Primitive Element)유한체 GF(q)의 원시 원소는, 
     - 0을 제외하고, 다른 원소의 거듭제곱(power)으로 표현 가능한 원소를 말함
        . 1개 이상의 원시 원소를 갖을 수 있음

  ㅇ 例) GF(5) = {1,2,3,4,5} 의 원시 원소는 2 및 3 임
     - 20 = 1 (mod 5) = 1, 21 = 2 (mod 5) = 2, 22 = 4 (mod 5) = 4, 23 = 8 (mod 5) = 3
     - 30 = 1 (mod 5) = 1, 31 = 3 (mod 5) = 3, 32 = 9 (mod 5) = 4, 33 = 27 (mod 5) = 2

체(Field)
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