Matrix Decomposition, Matrix Factorization   행렬 분해, 행렬 인수분해

(2023-09-22)

고유값 분해, SVD, 특이값 분해, 특잇값 분해


1. 행렬 분해                                     ☞  인수분해 참조행렬을 더 단순한 (작은, 열과 행들에 의한) 다른 행렬들의 곱으로 나타냄
     - 특히, 특정 구조를 갖는 2 이상의 다른 행렬들의 곱으로 나타내는 것

  ㅇ 한편, 스펙트럼 분해 (Spectral Decomposition) 는,
     - 1개 행렬을 여러 개의 행렬의 합으로 분해하는 것


2. 행렬 분해의 종류LU 분해 (LU Decomposition, LU Factorization)
     - 계수행렬하 삼각행렬상 삼각행렬의 곱으로 분해

     -  A = L U
        . L은 하 삼각행렬 (가우스소거법에 의해 변환된 행사다리꼴 행렬)          
        . U는 상 삼각행렬

  ㅇ QR 분해
     - 직교행렬상 삼각행렬의 곱으로 분해

     -  A = Q R
        . A : 열벡터선형독립인 m x n 행렬
        . Q : 정규직교 열벡터를 갖는 행렬
        . R : 가역행렬상 삼각행렬

     - 특징
        . 직교 분해의 성질을 이용
        . 

  ㅇ 행렬의 대각화 (Diagonalization)
     - 정방행렬의 대각화 분해

     -  A = S D S-1
        . A : 대각화 가능 행렬
           .. 고유값을 주 대각 성분으로 하는 대각행렬
        . S : 고유벡터열벡터로 하는 행렬
        . S-1 : S의 역행렬

     - 특징
        . 다만, 정방행렬에 만 적용 가능

  ㅇ 고유값 분해 (EVD, Eigenvalue Decomposition)
     - 모든 대칭행렬 A는, 그의 고유벡터,고유값들로, 다음과 같이 분해 가능 

     -  A = P D PT
        . A : 대칭행렬
        . P : 대칭행렬 A의 `고유벡터`들로 이루어진 n x n 직교행렬
        . D : 주대각성분이 P의 열벡터에 대응하는 A의 `고유값`들인 대각행렬

     - 특징
        . 다만, 선형독립인 n x n 정방행렬에 만 적용 가능
           .. (선형독립 : 벡터 v영 벡터인 경우에 만, A v = 0을 만족하는 행렬)

  ㅇ 특이값 분해 (SVD, Singular Value Decomposition)
     - 직교 정사각행렬을, 고유값을 기저로 하여, 대각행렬로 분해

     - 특이값 (Singular Value)
        . ATA에 대한 고유값(λ)의 양의 제곱근  :  σ = √λ
           .. 여기서, A는 m x n 실수 행렬

     - 행렬을 3개의 행렬 곱으로 표현  :  A = U Σ VT
        . A : m x n 행렬, U : m x m 정방행렬, Σ : m x n 행렬, VT : n x n 정방행렬
        . U,V 는, 직교행렬정방행렬  (U ∈ Rmxm, V ∈ Rnxn)
        . Σ 는, 직사각 대각행렬  (Σ∈ Rmxn)
           .. 주대각성분이 A의 특이값이고 (큰 값부터 차례대로),
           .. 나머지 성분이 0인 행렬

     - 특징
        . 적용 대상 행렬에 대한 제한이 없으므로, 널리 쓰이는 대표적인 방법
           .. 굳이 n x n 정방행렬이 아니여도, 일반적인 m x n 행렬도 분해 가능
           .. 실수 행렬 뿐 만 아니라, 복소수 행렬에 대해서도 적용 가능

     - 응용
        . 주성분 분석
        . 데이터 압축
        . 의사 역행렬
        . 호모그래피 등

  ㅇ 숄레스키 분해 (Cholesky Decomposition)
     - (작성중) ...

선형대수 수치방법
   1. 행렬 분해   2. LU 분해  


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