Hurwitz Polynomial   홀비츠 다항식, 허위츠 다항식

(2016-01-22)

Hurwitz 다항식

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1. 홀비쯔 다항식, 광의의 홀비쯔 다항식

  ㅇ 홀비쯔 다항식 (Hurwitz Polynomial)
     - 모든 근이 복소평면상의 좌반면(LHP)에 모두 위치하는 다항식
     - 허축 상에도 근을 갖지 않음 

  *  한편, 광의의 홀비쯔 다항식 (Modified Hurwitz Polynomial)
     - 대부분의 근이 좌반면(LHP)에 위치하나, 허축 상에도 단순 근을 갖을 수 있음


2. 홀비쯔 다항식 조건

  

  ① 모든 계수 an가 양의 실수
  ② 계수 어느 하나도 0 이어서는 안됨
     -  s의 최고차항과 최저차항 사이의 항의 계수는, P(s)가 기함수 또는 우함수인
        경우를 제외하고는 하나도 0 이 되지 않음
     - P(s)를 우함수부 M(s),기함수부 N(s)로 분리하여 P(s) = M(s) + N(s)라하면,
       M(s),N(s)의 근은 모두 허축상에 있음


3. 절대 안정도 판별법복소변수로 표현된 특성방정식을 조사하여, 시스템절대 안정도를 판별하는 방법

  ㅇ 특징
     - 시스템이 안정하기 위한 파라미터 범위를 쉽게 알 수 있음
     - s 평면의 각 영역(좌반면,우반면,jω축)에 있는 극점의 수를 구할 수 있으나,
       극점의 위치까지는 알려주지 않음

  ㅇ 종류
     - Hurwitz 판별법
     - 로스-허위츠 판별법 (Routh-Hurwitz Test)
        . Routh가 Hurwitz의 계산을 단순화시키는 표 작성 방법을 제시


4. Hurwitz 판별법 (Hurwitz Test)다항식 P(s)를 우수부 거듭제곱 항 M(s)와 기수부 거듭제곱 항 N(s)의 합으로 구분
     -  P(s) = ansn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 = M(s) + N(s)

  ㅇ 새로운 시험함수 D(s)를 다음과 같이 정함
     -  n이 짝수일 때 : D(s) = M(s)/N(s)
     -  n이 홀수일 때 : D(s) = N(s)/M(s)

  ㅇ 시험함수 D(s)를 연분수(continued fraction expansion)로 전개
     

  ㅇ 결론(판별)
     -  n개의 계수 α12,...,αn이 모두 양수이면, P(s)는 Hurwitz 다항식임
     -  m(≤n)개의 계수가 음수이면, P(s)는 비 Hurwitz 다항식임
        . m개의 근이 우반면에 있게됨
     -  한편, n개의 계수를 모두 구하기 전에 연분수 전개가 끝나면,
        . M(s),N(s) 사이에 공통인자가 있는 것임
        . 이때의 공통인자를 s에 관해 미분하여, 이를 갖고 다시 연분수 전개하여
        . n개의 계수가 모두 양수이면, P(s)는 광의의 Hurwitz 다항식임
        . 여기서, 공통인자에 의한 연분수 전개에서 나온 게수의 수 만큼의 근이 허수
                  축 상에 존재함을 의미


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