Norm   노름, 놈, 벡터의 길이, 벡터의 크기

1. 크기 (Magnitude) / 노름 (Norm)에 대한, 물리적,수학적 의미

  ㅇ 물리학에서는, 크기를 파악/생각하기는 아래 처럼 비교적 쉽지만,
     - 즉, 물리량에서 크기(노름) 例)
        . 변위 벡터에서 변위 크기(Displacement)
        . 힘 벡터에서 힘 강도(Strength)
        . 속도 벡터에서 그 크기인 속력(Speed) 등

  ㅇ 수학에서는, 모든 것을 수로써 추상화시키고, 그에맞춰 체계/구조를 세움으로 인해,
     - 크기(노름) 개념을 별도로 엄격하게 정의해 주어야 함

  ㅇ 즉, 노름 (Norm) 이란?
     - 벡터/함수/신호 등의 크기(강도,길이)의 척도를 나타내는(정의하는), 수학적인 용어 임

  ㅇ 결국, 노름을 통해,
     - 원소의 크기 및 상호 거리를 측정할 수 있게되어, 가까움의 개념을 도입 가능


2. [수학]  유클리드 노름 (Euclidean Norm) = 유클리드 길이 (Euclidean Length)

  ㅇ 가장 일반적으로 사용되는 노름 임
     - 흔히, 벡터의 노름 이라고 하면, 유클리드 노름을 가르킴

  ㅇ n차원 실수 공간 Rn 에서,
     - `원점에서 임의 점까지의 거리` 또는 `벡터의 크기(길이)`

  ㅇ 유클리드 노름의 정의는, 자기 자신과의 내적에 의해 구해짐
     - {# \| \mathbf{x} \| = <\mathbf{x},\mathbf{x}> = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}
                           = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} #}


3. [수학]  벡터,함수/신호 등에서, 여러 다른 노름의 정의

  ㅇ [절대값 노름]
     - 1차원 유클리드 공간(=수직선)에서의 노름 : |x|

  ㅇ [유클리드 노름, L2 노름]
       
[# \| \mathbf{x} \| = <\mathbf{x},\mathbf{x}>
                           = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}
                           = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} 
                           = \sqrt{\sum^n_{i=1}|x_i|^2} #]
     -  ∥x∥는, 원점에서 점 (x₁,x₂,...,xn)까지의 거리
     -  벡터의 각 성분들의 제곱의 합에 대한 제곱근

       
[# \|\mathbf{x}\|^2 = \;<\mathbf{x},\mathbf{x}> 
                           = \;\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} 
                           = \;\mathbf{x}^T\mathbf{x}
                           = \sum^n_{i=1}|x_i|^2 #]

  ㅇ [L1 노름]
       
[# \|\mathbf{x}\|_1 = \sum^n_{i=1}|x_i| #]

  ㅇ [p 노름]
       
[# \|\mathbf{x}\|_p = \left( \sum^n_{i=1} |x_i|^p \right)^{1/p} #]
     - p = 1 이면, L1 노름
     - p = 2 이면, L2 노름 (유클리드 노름)

  ㅇ [함수/신호]
     - 신호 크기의 척도  ☞ 신호 공간 참조
       


4. [수학]  노름의 성질

  ㅇ `0`의 존재 (Zero Existence)
     -  ∥x∥ = 0  iff  x = 0
        . ∥x∥ = 0 인 경우는, x = 0 일 때 뿐 임 

  ㅇ 양의 성질 (Positiveness,양수성) 
     -  ∥x∥ ≥ 0  (등호 성립하려면 x=0)

  ㅇ 스칼라곱셈 (Scalar Multiplication)
     -  ∥α x∥ = |α| ∥x∥


5. [수학]  노름의 관계식

  ㅇ 삼각 부등식 (Triangular Inequality) 
     -  ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

  ㅇ 피타고라스 정리 (Pythagorean Theorem) 
     -  ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2
        . 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계를 밝히는 정리

  ㅇ 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz Inequality) 
     -  |<x,y>| ≤ ∥x∥·∥y∥