Function   함수

(2016-03-09)
1. 함수(Function) 이란?
   
  ㅇ [일반]
     - 두 양의 의존적인 관계의 표현

  ㅇ [규칙으로써의 함수]
     - 한 집합의 원소들을 다른 집합의 원소들에 대응/지정/사상(寫像)해 주는 규칙 
        . 어떤 공간에서 다른 공간으로 가는(매핑하는) 규칙

  ㅇ [관계로써의 함수]
     - 두 변수 사이의 대응 관계(Relation)
        . 즉, 두 집합 원소 사이의 대응하는 관계성을 나타냄 

  ㅇ [신호 표현으로써의 함수]
     - 변하는 정보를 갖는 함수  ☞ 신호(Signal) 라고 함

  ㅇ [프로그래밍에서의 함수]
     - 어떤 기능을 모아두고 필요할 때 마다 호출하는 것  ☞  함수 참조


2. 함수에 대한 역사  

  ㅇ `function(기능,작용을 의미)`은 라틴어 `functio`에서 옴
  ㅇ 함수를 `function`으로 호칭 (Leibniz,1646~1716) : 특수한 수학공식(a2 등)을 지칭  (1673년)
  ㅇ 입출력 의존 관계로서의 함수 (Euler,1707~1783) : 즉, y = f(x)  (1734년)
  ㅇ 두 집합 사이의 관계 (디리클레,Dirichlet,1805~1859) : 처음으로 공식화 (1837년)
  ㅇ 오늘날에는 함수를 두 집합 원소들(둘 이상의 변수들) 사이의 대응 관계를 의미함


3. `함수(Function)`, `사상(Mapping)`, `변환(Transformation)` 

  ※ ☞ 함수 사상 변환 참조
     - 세 용어 모두 사실상 같은 의미를 갖음
        . 수학 각 분야에서 관례적으로 세 용어를 각각 선호하며 사용하고 있음
           .. 예를들면, 선형대수학에서는 `함수`,`사상` 보다는 `변환`이라는 용어를 더 선호
        . `연산자(Operator)`,`대응규칙(Corresponence Rule)`도 함수라고 할 수 있음

  ㅇ 좁은 의미의 함수는,
     - 1 이상의 독립변수 값이 단 하나의 종속변수 값에만 대응되는 관계 (多:1 또는 1:1)
        . 각 원소를 입력으로할 때, 유일한 원소를 출력으로 내놓는 규칙 f
           .. 모든 가능한 값 x가 꼭 하나의 값 y를 결정하는 규칙 (1:1)


4. 함수의 표기, 표현

  ㅇ `f : X → Y`
     - `X에서 Y로의 함수 f`
     - `두 집합 X,Y에서 X의 원소 x에 Y의 원소 하나씩을 대응시키는 규칙`이라고 함

  ㅇ 
     -  `f가 x를 y로 보냄`
     -  `f가 x를 y에 대응시킴`

  ㅇ 
     -  `x가 y로 매핑됨`
     -  함수인지가 명확하여 굳이 함수 f를 명기하지 않을 때 유용한 표기법

  ※ [함수 관련 용어] 
     - 정의역(Domain of Definition) : 가능한 입력의 집합 (X)
     - 공역(Codomain) : 가능한 출력의 집합 (Y)
     - 치역(Range)    : 함수가 실제로 취하는 출력 원소의 집합
     - 상(image) : 정의역 원소 x에 대응하는 치역(Range)의 원소 f(x)를 말함
        . 함수 f에 의한 x의 상 또는 함수값  ⇒   f(x)   ( x∈X, f(x)∈Y )


5. 함수의 종류(구분)

  ※ ☞ 함수 종류 참조
     - 기본함수,초월함수,단사함수,역함수,우함수,특수함수(베셀함수,르장드르함수,계승함수) 등


6. 함수의 근사  (☞ 테일러 근사 참조)

  ㅇ 함수의 근사값 계산에 편리하도록 만든 식
     선형근사식, 일차근사식 (Linear Approximate Expresssion)
     


[함수] 1. 함수(Function) 2. 정의역/치역/공역 3. 함수 종류 4. 함수/사상/변환 5. 사상(Mapping) 6. 변환(Transformation) 7. 단사/전사/전단사 함수 8. 역 함수 9. 다변수 함수

 
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