Eigenvalue Problem   고유값 문제, 고유치 문제

(2023-09-27)

1. `Eigen` 이란?

  ㅇ 독일어 형용사로써, `고유의`,`특유의`,`특성의` 등의 뜻을 갖으며,
     - 고유 값, 고유 벡터행렬의 본성에 관한 정보를 가지고 있음을 뜻함


2. 고유값 문제 (Eigenvalue Problem)

  ㅇ [선형대수]

     - 고유값 문제이란?  =>  행렬고유값,고유벡터를 구하는 문제

     - (문제 제시)
        . 선형방정식 A x = λ x 를 만족시키는 상수 λ에 대해 0 이 아닌 벡터 x 를 찾는 것 
           .. 고유값(Eigenvalue) : 위 등식이 성립하게되는 λi 값
           .. 고유벡터(Eigenvector) : 위 고유값 λi에 대응하는 벡터 x
           .. 고유값 방정식(Eigenvalue Equation) : 위 선형방정식 A x = λ x 를 지칭
           .. 행렬 A : `시스템 행렬`, `선형변환(행렬변환) 연산자` 등으로 일컬어짐

     - (문제 제시 例)
        . 정방행렬 A 가 주어지고, 어떤 상수 λ 에 대해 위 등식을 만족하는 자명하지
          않는 해(즉, 0 이 아닌 벡터) x 를 구하라.
           .. 즉, A xx상수배가 되는 0 이 아닌 벡터 x 의 존재여부 및 그 해를 찾음

     - (풀이 순서)
        . 정방행렬 (A - λI) 를 비정칙행렬이 되게하는 모든 고유치 λ 를 구하고,
        . 각 λ에 대해 (A - λI) x = 0 를 만족하는 0 이 아닌 고유벡터 x 를 구하면 됨

     - (응용 例)
        . 행렬의 대각화 (행렬대각행렬로 변환)
        . 또한, 행렬의 대각화와는 별개로, 행렬의 본성에 대한 다양한 정보들을 줌
        . 선형미분방정식의 해를 구하는데 이용되는 등


  ㅇ [미분방정식] 

     - 미분방정식 해에 대한 특성 정보를 찾고자 함                ☞ LTI 고유함수 고유값 참조
        . 고유 함수 : LTI시스템을 통과해도 기본성질이 변화하지않는 신호
           .. 例) 지수 함수, 정현 함수 등    
           .. 만일, 입력이 정현파이면, 주파수는 입력과 동일하나, 진폭위상은 달라짐
        . 고유값    : LTI시스템 출력은 특정값에서 고유함수의 복소 상수배가 됨

     - 연립 미분방정식 해를 푸는데 응용 됨
        . 편미분 방정식 해 ☞ Sturm-Liouville Problem 참조


3. 고유값 문제에서, 주요 관심 사항 例공간적인 문제의 경우,
     - 주로, 고유 벡터의 `방향에 만 관심이 있고`, 그 크기는 별 관심이 없음

  ㅇ 시간,주파수 문제의 경우,
     - 주로, 고유 함수주파수별로 시스템의 응답이 상수배하는 `이득에 만 관심이 있음`

고유값문제
   1. 고유값 문제   2. 고유값 문제 용어   3. 고유값,고유벡터   4. 고유 공간   5. 고유 함수   6. 특성 방정식   7. 거듭제곱법   8. 닮음 행렬   9. 대각화  


Copyrightⓒ written by 차재복 (Cha Jae Bok)               기술용어해설 후원
"본 웹사이트 내 모든 저작물은 원출처를 밝히는 한 자유롭게 사용(상업화포함) 가능합니다"