Space, n-dimensional Space, Hyperplane   공간, n차원 공간, n차원 벡터공간, 초평면

(2014-04-06)
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벡터 부분공간
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1. 공간(空間, Space)

  ㅇ [물리학적 공간]
     - 빈 공간이라기 보다는 물성(물리량)을 정의하거나 나타낼 수 있는 공간 ☞ 장(場)

  ㅇ [수학적 공간] 
     - 기하학도형(圖形) 및 대수학수(數)의 성질 모두를 갖는 수학적 표현
        . 기하학적인 개념을 빌린 대수적인 표현
           .. 만일, 공간이 대수적 규칙을 따르지 않으면 단지 수(數)를 흩뿌린 것에 불과함

     *  집합과 비슷한 의미이나, 
        . 집합의 원소에 연산이 정의되고, 연산 결과가 다시 그 공간에 속해짐(닫힘성질)


2. n 차원 공간 (n-dimensional Space)

  ㅇ n 차원 실수 공간  Rn
     - n개 실수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (x1,x2,...,xn) 벡터들의 집합
        .  x = (x1,x2,...,xn)
        .  Rn = { x | xi ∈ R, i=1,2,...,n}
           ..  여기서, xi좌표(coordinate),성분(component),원소(element) 등으로 불리움
     - 例)
        .  R1 : 대수적으로 실수 집합. 기하학적으로 직선.
        .  R2 : 대수적으로 실수들의 순서쌍 집합. 기하학적으로 평면.
        .  R3 : 대수적으로 실수들의 3개 순서쌍 집합. 기하학적으로 공간.
        .  R4 : 4 이상의 고 차원 공간(high-dimensional space)

  ㅇ n 차원 복소수 공간  Cn
     - 복소수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (z1,z2,...,zn) 벡터들의 집합
        .  z = (z1,z2,...,zn)
        .  Cn = { z | zi ∈ C, i=1,2,...,n}

  ㅇ n 차원 벡터공간 (n-dimensional Vector Space)
     - n 차원 벡터 (n-dimensional Vector)
        .  n 개의 수로된 순서쌍(n-tuple)
          
     - 모든 n 차원 벡터들을 성분으로 이루어지는 전체 집합
        . 例)  n개의 실수 성분으로 구성된 공간 Rn = { x | xi ∈ R, i=1,2,...,n}

     - n 차원 일반 벡터 공간(추상적 공간)  Vn
        . 실 벡터 공간(real vector space)
           .. 실 벡터 공간   : 벡터공간에서 스칼라가 실수인 공간, R로 표시됨 
        . 복소 벡터 공간(complex vector space)
           .. 복소 벡터 공간 : 벡터공간에서 스칼라복소수인 공간, C로 표시됨


3. 유클리드 공간 (Euclidean Space)유클리드 기하학의 5개 공준(공리)이 성립되는 공간
     - 경험적 유클리드 공간 : E3
        . 세 실수 순서쌍 a = (a1,a2,a3)의 집합
           .. 3차원 이하의 형상을 하는 실수들 만으로 이루어진 공간


4. 초평면 (Hyperplane)

  ㅇ 2차원에서 정의되는 `평면(plane)`이라는 것이, 
     - 고차의 n차원 공간 Rn에서는 `초평면(Hyperplane)`이라고 함

  ㅇ 특징 : 해당 공간을 둘로 분할하는 평면


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