Linear Differential Equation, Nonlinear Differential Equation   선형 미분방정식, 비선형 미분방정식

(2016-03-15)
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1. 선형비선형 미분방정식 구분선형 미분방정식 (Linear Differential Equation)
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수(coefficient)가 독립변수 만의 함수

     * 선형 미분방정식 형태 例)
        . 例 1)  4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex
        . 例 2)  a2(x) d2y/dx2 + a1(x) dy/dx + a0(x) y = f(x)

  ㅇ 비선형 미분방정식 (Nonlinear Differential Equation)
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌 멱 지수를 갖을 때나, 
     - 계수가 종속변수를 포함하거나, 
     - 종속변수비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때

     * 비선형 미분방정식 형태 例)
        . 例 1)  xydy/dx + 2y = sin x  (y와 dy/dx가 곱의 형태로 1차가 아님)
        . 例 2)  d2y/dx2 + (dy/dx)2 = 1  (dy/dx의 제곱을 포함하여 1차가 아님)
        . 例 3)  (1-y)dy/dx + 3y = ex  (첫번째 항의 계수가 종속변수 y를 포함)
        . 例 4)  dy/dx + sin y = 0  (sin y 항이 비선형 함수임)
        . 例 5)  dy/dx = yn  (종속변수 y가 2차 이상의 지수항을 포함)


2. 선형 미분방정식 형태

  ㅇ `변수 계수`를 갖는 n계 선형 미분방정식 (n-order,linear)
     
     - 모든 계수가 x 만의 함수
     - y 및 그 도함수는 1차(1승) 이내 만 가능
     - 한편, an(x) = 1 이면, `표준형` 이라고 함

     - 1계 선형 미분방정식 표준형
        . 제차 1계 선형 미분방정식   :   y'+ P(x) y = 0
        . 비제차 1계 선형 미분방정식 :   y'+ P(x) y = f(x)

     - 2계 선형 미분방정식 표준형
        . 제차 2계 선형 미분방정식   :   y〃+ P(x) y'+ Q(x) y = 0
        . 비제차 2계 선형 미분방정식 :   y〃+ P(x) y'+ Q(x) y = f(x)

  ㅇ `상수 계수`를 갖는 미분방정식 (constant coefficient)
     


3. 제차 선형 미분방정식 특징 (homogeneous,linear)중첩의 원리
     - 각 개별 해 y1,y2,...,yk일차결합이 다시 그 해가 됨
        . y = c1y1+c2y2+...+ckyk
        . 한편, 개별 해 y1의 임의 상수배 y=c1y1도 해가 됨


4. 선형 미분방정식 풀이 

  ㅇ 해의 여러가지 성질을 특징지어서 풀 수 있는 여러 표준적인 방법들이 가능함

     - 1계 선형 미분방정식의 풀이 例)
      

     - 2계 이상의 고계 미분방정식의 풀이
        . 상수계수인 선형인 경우에서 만 비교적 쉽게 풀이할 수 있음
        . 변수계수이거나, 비 동차형이면 복잡해짐


[1계 미분방정식]1. 1계 미분방정식  2. 변수분리형  3. 동차형  4. 완전 미분방정식  5. 선형 미분방정식  

 
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