Transformation   변환

(2017-06-20)

Integral Transform, 적분 변환

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  2. 주파수 영역
  3. 복소 주파수 영역
[변환 종류]
[푸리에 변환 이론]

1. 변환 (Transformation)

  ㅇ 표현하는 영역을 바꾸어 달리 표현한다는 광의의 용어 
     - 이 공간에서 저 공간으로 달리 표현할 수 있으나, 내용상으로는 동등함
        . 이를통해, 해석이 용이해지거나 취급이 단순해지는 등 여러가지 장점이 있음


2. 변환의 수학적 표기공간 간의 변환 표현
     벡터 간의 변환 표현  
     
     - 입력과 출력 모두가 벡터인 경우에 주로 `변환`이라고 함
        . 이때의 벡터 변환 표기로는 통상적으로 대문자 T, F, L 등을 사용함

  ㅇ 점(변수) 간의 함수적 변환 표현
     
     

3. `함수(Function)`, `사상(Mapping)`, `변환(Transformation)` 

  ※ ☞ 함수 사상 변환 참조
     - 세 용어 모두 사실상 같은 의미를 갖음
        . 수학 각 분야에서 관례적으로 세 용어를 각각 선호하며 사용하고 있음
        . 선형대수학에서는 `함수`,`사상` 보다는 `변환`이라는 용어를 더 선호


4. 변환의 종류 例)

  ㅇ 표현식 변환
     - 표현 식을 바꿈 (깔끔하고 직관적 이해가 가능한 수식 유도 등)

  ㅇ 좌표계 변환
     - 좌표를 바꾸는 것  例) 직교 좌표계 변환 등

  ㅇ 합동 변환(등거리 변환, Isometry) : 위치를 바꾸어도 정확히 포개지는 변환
     - 유클리드 공간에서 점 사이의 길이를 변하지 않게하는 변환 

  ㅇ 선형 변환 (linear transformation) : 선형적 성질을 유지하는 변환
     - 벡터 공간의 수학적 구조를 보존하는 변환
        . 벡터공간 간에 2가지 연산(벡터합,스칼라곱) 성질을 보존하며 변환

  ㅇ 주파수 영역 변환 : 해석의 용이성을 추구하는 변환
     - 때론, 적분 변환(Integral Transform) 이라고도 함
        . 적분에 의해 서로 연관된 한 쌍의 함수들이 서로 변환 관계를 갖으므로 붙여진 명칭
          
           .. 함수 K(α,t) : 핵함수(Kernel)
           .. 함수 F(α)   : 핵함수 K(α,t)에 대한 함수 f(t)의 적분 변환
        . 적분 변환의 특징 : 선형성선형 연산자, 선형 변환 참조

     - 주로, 시간 영역에서 신호의 표현/해석을 주파수 영역으로 바꾸어서 쉽게 표현/해석
        . 시간영역에서 파악하기 어려운 특성들을,
           .. 주파수영역에서 쉽게 볼 수 있으므로,
        . 신호시스템(특히, LTI시스템) 분석 및 취급이 용이해짐
           .. 주파수 영역 변환 例)  푸리에 변환, 라플라스 변환, z 변환, 페이저 변환 등

     * 신호처리 분야에서 시간영역과 변환영역(주로,주파수영역) 간의 관계에 대한 이해가
       매우 중요함                     ☞ 주파수영역변환,복소주파수,시스템응답 등 참조

  ㅇ 기하학적 그래픽 변환 (Geometric Graphic Transformation) : 영상화소의 재배치 변환
     - 영상화소공간적 위치를 재배치하는 것
        . 영상 내 물체 간의 기하학적 관계를 변환시킴으로써, 화소의 재배치
        . 영상 객체의 크기,위치,방향 등을 변환시킴
           .. 이동(translation),회전(rotation),스케일링(scaling) 등
     - 점 변환,도형 변환 등
        . 점을 한 점에서 다른 점으로 옮김 (점을 대응시키는 사상)
        . 도형을 다른 형태의 도형으로 바꿈 (도형의 단순화,취급 용이 등)

  ㅇ 영상 변환 (Image Transform) : 영상 정보를 다른 형태의 정보로 변환
     - 영상 정보공간 영역이 아닌 다른 영역(주파수영역 등)으로 변환시켜서,
        . 영상의 개선, 압축, 해석 등을 수행

  ㅇ 코드 변환 (Code Transformation) : 응용에 맞도록 코드 변환
     - 주어진 응용에 적합토록 코드(부호)의 속성 및 효율적인 코드 변환


[함수] 1. 함수(Function) 2. 정의역/치역/공역 3. 함수 종류 4. 함수/사상/변환 5. 사상(Mapping) 6. 변환(Transformation) 7. 단사/전사/전단사 함수 8. 역 함수 9. 다변수 함수

 
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