Vector Space   벡터 공간

(2023-06-21)

Linear Vector Space, 선형 벡터공간, Linear Space, 선형 공간, Vector Space Axiom, 벡터공간 공리


1. 벡터 공간 (Vector Space)

  ㅇ 어떤 원소들의 집합 위에, 덧셈과 스칼라배 연산이 정의되며,
     - 이로써, 수학적 체계(대수적 구조)를 형성하는 추상적 공간


2. 벡터 공간의 의미

  ㅇ (기초적 의미) : 현실 공간추상화시킨 것
     - 벡터 공간은 현실 공간의 성질(주로,선형적인 성질)을 특정 수준으로 추상화시킨 것
        . 즉, 유클리드 공간을 적절하게 추상화, 일반화시킨 공간 이라고 할 수 있음

  ㅇ (공리적 의미) : 아래 3.항과 같은 여러 공리들을 만족하는 것
     - 10가지 벡터공간 공리(Axiom)를 만족하며, 2가지 연산(덧셈,스칼라곱셈)이 가능한 집합
        . 2개 연산(덧셈 및 스칼라배)으로 8개 연산법칙이 성립되는 공간

  ㅇ (`벡터`,`공간`의 의미)
     - 벡터 : 대상되는 집합의 원소들의 수학적 거동을 표현하는 추상적 개념
        . 굳이, 방향 및 크기를 나타내는 물리학적/기하학벡터로 제한시킬 필요 없음   ☞ n 순서쌍
     - 공간 : 기하학도형(圖形) 및 대수학수(數)의 성질 모두를 갖는 수학적 개념
        . 만일, 공간이 대수적 규칙을 따르지 않는다면, 단지 도형,수들이 흩뿌려진 것에 불과함


3. 10가지 벡터공간 공리(Axiom)

  ㅇ 덧셈 관련
     - (1) 벡터공간 V는 덧셈에 대해 닫혀있음/닫힘성 (closed under addition)
        . 즉, ab가 V에서 존재하면, a + b 도 V에서 존재함
     - (2) (가환성,commutativity)  a + b = b + a
     - (3) (결합성,associativity)  (a + b) + c = a + (b + c)
     - (4) (영 벡터가 존재함)   a + 0 = a
        . 모든 a에 대해 만족스러운 유일한 영 벡터가 존재함
     - (5) (덧셈 역원이 존재함)  a + (-a) = 0
        . 각 원소 마다 덧셈 역원이 유일하게 존재함

  ㅇ 스칼라배 관련
     - (6) 벡터공간 V는 스칼라배에 대해 닫혀있음/닫힘성 (closed under scalar multiplication)
        . 즉, a가 V에서 존재하고 α가 스칼라이면, αa도 V에서 존재함
     - (7) (스칼라 결합성)  α(βa) = (αβ)a
     - (8) (단위원)  1 a = a
     - (9) (분배성,distributivity)  α (a + b) = αa + αb
     - (10) (분배성,distributivity)  (α + β) a = αa + βa


4. 벡터 공간의 참고할 점벡터공간 그 자체로는 길이,각도 등에 대한 개념이 없음 
     - 길이,각도 등은 내적이 관계될 때 만 가능            ☞ 내적공간 참조

  ㅇ 보다 작은 벡터공간 있음  :  부분 공간
     - 그 기본구조를 그대로 유지하며, 보다 작은 벡터공간  ☞ 부분공간 참조

  ㅇ 용어상 유의점  :  선형 벡터공간
     - 벡터공간을 간단히 선형공간 또는 선형 벡터공간 이라고 하기도 하나, 
        . 선형 벡터공간은 전체 벡터공간의 일부인 부분공간 임

  ㅇ 벡터 공간의 생성                                    ☞ 생성(Span) 참조
     - 주어진 유한개의 기저 벡터들에 의해 벡터공간이 생성(Span)이 됨
        . 즉, 기저벡터들의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있는 공간

  ㅇ n차원 벡터공간
     - 모든 n 차원 벡터들을 성분으로 이루어지는 전체 집합n차원 공간 참조
        . 例)  n 차원 실수 공간  Rn
           .. n개 실수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (x1,x2,...,xn) 벡터들의 집합


5. 벡터공간의 주요 例

  ㅇ (실수) 실수 원소를 갖는 벡터로 이루어진 공간은 벡터공간임 : Rn 
     - 두 실수의 합도 곱도 실수가 되므로

  ㅇ (다항식) 다항식벡터공간임 : Pn 
     - 두 다항식의 합도 다항식, 다항식상수배도 다항식이 되므로

  ㅇ (함수) 연속 함수벡터공간임 : C(-∞,∞)
     - 연속 함수의 합도 연속 함수, 연속 함수상수배를 해도 연속함수가 되므로

  ㅇ (행렬) 행렬벡터공간임
     - 연립 일차 방정식행렬로 나타내어 풀 수 있으며,
     - 연립 일차 방정식의 해 집합벡터 공간이 됨

선형시스템
   1. 선형   2. 비선형   3. 중첩의 원리   4. 선형 벡터공간   5. 선형 방정식   6. 선형 미분방정식   7. 선형 결합   8. 선형 연산  
벡터 공간
   1. 벡터 공간   2. 부분 공간   3. n 차원 공간  


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