Group (군), Group Axiom, Group Theory   군 (Group), 군 (群), 군 공리, 군론

(2023-10-09)

군 , 군 , Group


1. 군 (Group,群) 이란?

  ㅇ [일반]  어떤 성질을 만족하는 대상(object)들의 집합을 일컬음

  ㅇ [수학]  군 또는 군론 (Group Theory)
     * 대칭적인 요소들(성질)을, 수학적으로 일반화시킬 때, 유용한 수학적 도구
     - 대칭적인 성질을 만족하는, 어떤 수학적 구조(대수적 구조)를 다룸
        . 여기서의 성질은, 어떤 집합의 원소들 간의 연산에서 나타나는 성질을 말함
     - 대칭성(Symmetry), 불변성(Invariance)을 다룸
        . 기하학적 변환, 대수적 변환 등에서 불변하는 것을 다룸
     * 한편, 물리적으로, `대칭성`,`불변성`,`보존성`은 같은 맥락을 갖음  ☞ 대칭성 참조


2. 대수 구조로써의 군(群)

  ㅇ 가장 기초적인 대수 구조 임
     - 즉, 군(群)은, 1개의 연산(이항연산) 만을 갖는 대수 구조임
        . 例 1) 1개의 연산을 갖는 대수 구조 : 군(Group)
           .. ,함수,벡터,다항식 등에 대해 1개 연산 만으로 다룰 때
        . 例 2) 2개의 연산을 갖는 대수 구조 : 환(Ring), 체(Field), 벡터공간 등
     - 주로, 더 복잡한 대수적 구조를 만들어내는 기본 구성요소의 하나로 쓰임

  ㅇ 군의 성격에 대해 요약하면,
     - 결합적인 연산을 갖으며, 
     - 이 연산에 관한 한, 모든 원소에 대해 항등원,역원을 갖는 집합


3. 군의 공리 (Group Axiom) 집합 G 및 이항연산 * 이 있을 때, 다음의 4가지 공리(성질,조건)들을 만족함
     - (closure, associativity, existence of identity, existence of inverse)

  ㅇ ①  이항연산 * 에 대해 `닫혀있음` (Closure)
     -   a * b 연산 결과도 집합 G 에 속함
        . 순서쌍 (a,b)들의 곱(카테시안 곱) 연산에 대해 닫혀있음
        . 즉, 어떤 집합의 임의의 두 원소들(순서쌍) 간에 연산이 행해질 때, 
              그 결과 역시도 그 집합의 원소가 됨

  ㅇ ②  이항연산 * 에 대해 `결합법칙 성립` (Associativity)
     -   a,b,c 모두 집합 G 에 속하고, a * (b * c) = (a * b) * c 임

  ㅇ ③  이항연산 * 에 대해 `항등원이 존재` (Identity Element)
     -   e * a = a * e = a
        . 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기
        . 모든 군은 반드시 하나의 항등원이 존재함

  ㅇ ④  이항연산 * 에 대해 `각 원소의 역원이 존재` (Inverse Element)
     -   a * a-1 = a-1 * a = e
        . 보통, a-1로 표기

  ※ 한편, (반군, 모노이드, 군, 가환군)의 비교 
     - ①,② 만 만족하면 => 반군 (닫힘성,결합법칙)
     - 반군에 ③까지도 만족하면 => 모노이드 (닫힘성,결합법칙,항등원)
     - ①,②,③,④ 모두 만족하면 => 군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원)
     - ①,②,③,④ 모두에 교환법칙까지 만족하면 => 가환군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원,교환법칙)


4. 군의 표기

  ㅇ ( G, * )  또는  < G, * >  또는  { G, * }
     - 또는, 연산이 분명하면 간단히 그냥 `군 G` 로 만 표기

     - 여기서, 
        . G : 군의 원소 집합, * : 군의 연산 (+,· 등이 쓰임)


5. 군의 성질들

  ㅇ 군은 최소 1개 요소 만으로도 구성 가능 : { e } 즉, 항등원 1개
     - { e } 위에서 유일 가능한 이항연산은 e * e = e
     - 모든 군에서 항등원 자신은 항상 그 자신의 역원이 됨
     - 모든 군은, { e }와 G 자신을, 부분군으로 갖음

  ㅇ ...


6. 군의 종류

  ※ ☞ 군의 종류 참조
     - 반군,모노이드,유한군/무한군,가환군(아벨군),순환군,덧셈군/곱셈군,부분군7. 군이 대상으로 삼을 수 있는 분야수론 : 수집합 ℤ(정수),ℚ(유리수),ℝ(실수),ℂ(복소수)는 덧셈 연산 하에, 군을 이룸

     - 例) 정수 집합에서 덧셈 연산에 대한, ( ℤ, + )은 군 임
        . ①  두 정수의 덧셈은 정수 (닫혀있음)
        . ②  a + (b + c) = (a + b) + c (결합법칙 성립)
        . ③  0 + a = a + 0 = a (항등원 존재) 
        . ④  임의 정수 (-a) + a = 0 (각 원소에 역원이 존재) 

     - 例) 정수 집합에서 곱셈 연산에 대한, ( ℤ, · ) 또는 ( ℤ, x )은 군이 아님
        . ④ 역원 공리 성립 안함 
           .. 例) 0 b = 1을 만족하는 정수 b는 존재 안함
           .. 例) 2 b = 1을 만족하는 정수 b는 존재 안함

     - 例) 양의 유리수 집합+에서 곱셈 연산에 대한, ( ℚ+, · )은 군 임
        . 양의 유리수 a의 항등원은 1, 역원은 a-1

     - 例) n을 법으로 하는 잉여계 Zn에서 덧셈 연산에 대한, ( Zn, + )은 군임
        . 여기서, 항등원은 0 이며, 임의 원소 j의 역원은 n-j

     - 例) (요약)
        . {#\mathbb{Z}#}은, 덧셈군이나, 곱셈군은 아님
        . {#\mathbb{R}-\{0\},\mathbb{Q}-\{0\},\mathbb{C}-\{0\}#}은, 덧셈군인 동시에 곱셈군 임

  ㅇ 대수 방정식 이론 : 방정식(Roots)

  ㅇ 기하학적 변환 : 어떤 도형을 회전시키는 대칭 동작 
     - 例) 강체운동 군 등

  ㅇ 기타 응용 분야 : 분자 대칭성대칭 조작

군(Group)
   1. 군(Group)   2. 군의 종류   3. 가환군   4. 부분군   5. 대칭성   6. 대칭 조작   7. 치환   8. 군 용어  


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