Ordered Sequence   순열

(2020-03-22)

중복 순열

1. 순열 (Ordered Sequence) 이란?

  ㅇ 어떤 집합 중 일부를 택하여 순서있게 나열하는 것
     - 서로 다른 것들 중 일부를 뽑아 일렬로 나열하는 것

  ㅇ [용어 유의]
     - 치환 (Permutation) : 전체(n)를 모두(n) 순서적으로 나열 {# {_nP_n} = n! #} 
     - 순열 (Ordered Sequence) : 전체(n) 중 일부(r)를 선택하여 순서적으로 나열 {# {_nP_r} #} 


2. 순열에서, 경우의 수 계산

  ㅇ 비 중복 순열 (sampling without replacement)
    
     - (전체 순열) => (때론, 치환이라고도 함)
        . 서로다른 n개를 순서있게 나열하는 경우의 수 : n!

     - (일부 순열)
        . 서로다른 n개 중 r개를 취하여 순서있게 나열하는 경우의 수 : {# {_nP_r} #}

            
[# {_nP_r} = (n)(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} \\ \quad \left( \, {_nP_0} = 1, \quad {_nP_n} = n! \, \right) #]
- (원 순열, circular permutation) . 서로다른 n개를 원형으로 순서있게 나열하는 경우의 수 : (n-1)! ㅇ 중복 순열 (sampling with replacement, permutation with repetition) - 중복을 허용하여 나열하는 경우의 수 . n개 중 중복을 허용하며 r개를 뽑아 나열하는 경우의 수 :
[#{_n\Pi_r} = n^r#]
- 例) . 알파벳으로 2개 문자를 만들 수 있는 단어 수는, 262 = 676 . 2개 숫자 0,1로 4 자리를 메꾸는 경우의 수는, 2 x 2 x 2 x 2 = 24 ㅇ (그룹 순열) (같은 것이 있는 순열) (다중 집합의 순열) - 일부 같은 것이 있는 n개를 k개의 다중 집합(k개 그룹)으로 순서있게 나열 . 즉, n1,n2,...,nk 그룹으로 순서있게 나열하는 경우의 수
[# \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} #]
- 만일, n개 중 p개가 같다면, 이때 순서있게 늘여놓는 경우의 수
[# \frac{n!}{p!} #]
- 例) 11개 문자(a가 5개,b가 2개,c가 2개,d가 1개,f가 1개)로 나열 가능한 방법의 수는? . (11!)/(5! 2! 2! 1! 1!) = 83160


[조합론/셈법(Counting)] 1. 조합론 2. 셈법 3. 치환 4. 순열 5. 조합 6. 경우의 수 계산 (요약) 7. 이항/다항 정리 8. 비둘기집 원리
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
              1. 정수론
              2. 절대값
              3. 짝수,홀수,패리티
              4. 산술의 기본정리
          1.   수의 구분/표현
          2.   조합론/셈법(Counting)
            1.   1. 조합론
                2. 셈법
                3. 치환
                4. 순열
                5. 조합
                6. 경우의 수 계산 (요약)
                7. 이항/다항 정리
                8. 비둘기집 원리
          3.   나눗셈 (가분성)
          4.   소수,최대공약수
          5.   디오판투스 방정식
          6.   합동, 모듈러 연산
        3.   선형 대수학
        4.   추상대수학
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
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    5.   생명과학
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  3.   진동/파동
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  10.   기술경영

 
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