Extreme Value   극값

(2018-08-16)

Maximum Value, 최대값, Minimum Value, 최소값, Local Maximum, 극대점, 극대값, Local Minimum, 극소점, 극소값, Stationary Point, 정류점, Critical Value, 임계값, Critical Point, 임계점

1. 절대 극값, 상대 극값

  ㅇ 절대 극값/극점 (최대값, 최소값)
     - 주어진 함수값 중 최대인 값 : 최대값/최댓값 (Maximum Value/Absolute Maxima)
     - 주어진 함수값 중 최소인 값 : 최소값/최솟값 (Minimum Value/Absolute Minima)
     * 구간 끝점을 포함해서 최대/최소인, 단일 값 (그냥, 극값 이라고도 함)

  ㅇ 상대 극값/극점 (극대값, 극소값) 
     - 국소적(지역적)으로 최대/최소인 상대 최소값(극대값),상대 최대 값(극소값)을 말함
        . 극대점/극대값(Local Maximum)
        . 극소점/극소값(Local Minimum)
     - 함수는 여러 다양한 극값들을 갖을 수 있음
     * 구간 끝점은 제외됨


2. 극값의 성질을 나타내는 점

  ㅇ 정류점,정상점 (Stationary Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점)
        . 대개, 정류점에서 상대 극값(극소값/극대값)을 갖음

  ㅇ 변곡점 (Inflection Point)
     - 오목에서 볼록으로 또는 볼록에서 오목으로 바뀌는 점
     - 증가에서 감소 또는 감소에서 증가로 바뀌는 점 (f'(c) = 0인 정류점)

  ㅇ 특이점 (Singular Point)
     - 어떤 점 c에서 f'(c)가 존재하지 않는 점 (미분 불가능 점)
        . 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
              심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등

  ㅇ 임계값/임계점 (Critical Value/Critical Point) 
     - 미분계수가 0 인 점 (정류점)
        . 봉우리 또는 골 형태의 극대점 또는 극소점 (즉, f'(x) = 0 인 점)
           .. 수평 접선을 갖는 점
     - 미분계수가 존재하지 않는 점 (특이점)
        . 뾰족한 극대점 또는 극소점 (즉, f'(x)가 존재하지 않는 점)

     - 例) 함수 f(x) = x1/3 은,
        . x = 0 에서, 수평접선 f'(0) = 0 인 임계점을 갖으나, 극점은 없음

     * 때론, 임계값/임계점은 구간 끝점,정류점,특이점 등 모두를 일컫음
        . 주로, 판정의 기준으로 삼는 값(점)
        . 즉, 특이한 상태나 급격한 변화가 일어나기 직전의 임계 상태에 있을 때의 값
           .. 例) 디지털통신 수신기에서 `0`,`1`을 판정하는 기준인 임계값 수준


3. 함수 그래프 모양 관련 정리

  ㅇ 절대 극값 존재 정리 / 최대 최소 존재 정리 (존재성)
     - 함수 f가 폐구간 [a,b]에서 연속이면,
        . f는 [a,b]에서 반드시 절대 극값(최대/최소)을 갖음
     - 이때, 절대 극값(초대값/최소값)은,
        . 구간 끝점(a 또는 b)이나 임계점(즉, f'(x) = 0 인 점)에서 발생 함

  ㅇ 도함수 부호,상대 극값에 관한 정리
     - 어떤 극점을 중심으로, 1계 도함수의 부호가 같다면, 그 점은 함수 f의 상대 극값이 아님
     - 어떤 극점을 중심으로, 1계 도함수의 부호가 다르면, 그 점은 함수 f의 상대 극값 임
        . 상대 극점 왼쪽 모든 점이 f'(x) > 0 이고, 오른쪽 모든 점이 f'(x) < 0 이면,
           .. 그 점은 함수 f의 극대점 임
        . 상대 극점 왼쪽 모든 점이 f'(x) < 0 이고, 오른쪽 모든 점이 f'(x) > 0 이면,
           .. 그 점은 함수 f의 극소점 임

  ㅇ 2계 도함수에 의한 극대값,극소값 판정 정리                        ☞ 오목,볼록 참조
     - (a,b)에서 f가 연속이고, f'(c) = 0 일때,
        . f"(c) < 0 이면, f(c)는 극대값
        . f"(c) > 0 이면, f(c)는 극소값


[최적화] 1. 최적 문제 2. 변분법 3. 라그랑주 승수법 4. 극값,정류점,임계점 5. 특이점 6. 증가,감소 7. 오목,볼록,변곡점 8. 최적화 문제 용어

 
        최근수정     요약목록(시험중)     참고문헌