환의 종류

(2018-01-09)

Commutative Ring, 가환환, Ring with Unity, 단위환, Integral Domain, 정역

1. 추가적인 조건이 부여됨에 따라 나타나는 또다른 환의 형태들

  ㅇ 가환환 (Commutative Ring)
     - 추가적으로 곱셈(·)에 대해서도 가환(commutative)이 되는 환 : a·b = b·a  
        . 즉, 곱셈에 대해 교환법칙까지도 성립하는 가환환

  ㅇ 단위원을 갖는 환 (Ring with Unity, 단위환)
     - 추가적으로 곱셈 항등원 즉, 단위원을 갖는 환 : 1·a = a·1 = a
        . 단위원(unity or identity) : 곱셈에 대한 항등원
        . 한편, 환은 굳이 곱셈에 대한 항등원을 갖을 필요 없음

  ㅇ 나눗셈환 (Division Ring)
     - 단위원 1을 갖는 환으로써, 곱셈 역원이 존재하는 환
        . 각 원소 a∈R,a≠0에 대해, a·a-1 = a-1·a = 1

  ㅇ 정역 (Integral domain)
     - 단위원 1을 갖는 가환환으로써, 추가적으로 다음 조건을 만족
        .  a≠0,b≠0 이면 a·b≠0 을 만족함
           .. 또는, a·b = 0 이면, a = 0 또는 b = 0  (a,b ∈ R)
     - 例) 정수 집합 Z, 소수체 Zp (p는 소수), 정수 계수 다항식환 Z[x] 등

  ㅇ 체 (Field)
     - 가환환인 나눗셈환
        . 단위원을 갖는 가환환으로,
        . 영이 아닌 모든 원소가 단원(unit,역원이 존재하는 원소)이 되는 경우

  ㅇ 사체/비가환체 (Skew Field)
     - 비가환환인 나눗셈환

  ※ 환,가환환,단위원을 갖는 환,정역, 의 비교
     


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