Line Integral, Path Integral   선 적분, 경로 적분

(2018-10-29)
1. 다변수 함수에서의 적분 구분

  ㅇ 선 적분(Line Integral)      : 단일 또는 다변수 함수에서 곡선을 따라 취하는 단일 적분면적 적분(Surface Integral) : 다변수 함수에서 표면,넓이에 대해 취하는 이중 적분체적 적분(Volume Integral)  : 다변수 함수에서 체적에 대해 취하는 삼중 적분

  ※ 여기서, 다변수 함수물리량 표현을 스칼라장 또는 벡터장 이라고도 함


2. 선 적분(Line Integral) 또는 경로 적분(Path Integral)

  ㅇ 평면 또는 공간 내 놓여진 곡선 C를 따라 주어진 함수에 대해 적분하는 것

  ㅇ 선 적분 특징
     - 구간 [a,b]에서 일변수 함수적분(정적분)을 하는 것 보다는 복잡하게,
     - `주어진 곡선`을 따라 `주어진 다변수 함수`에 대해 취하는 적분

  ㅇ 선 적분 구분
     - 스칼라함수의 선 적분 : (개곡선) , (폐곡선) 
     - 벡터함수의 선 적분 : (개곡선) , (폐곡선) 


3. 스칼라함수(스칼라장)의 선 적분

  ㅇ 일변수 선 적분 (일변수) 
     - 즉, 일변수 함수정적분 을 말함

  ㅇ 평면 상에서의 선 적분 (이변수)
       공간 상에서의 선 적분 (삼변수)
     - 함수 f(x,y,z) 가 곡선 C 위에서 정의되어 있다면,

     - 우선, 곡선 C를 나타내는 매끄러운 매개변수 방정식을 구하고,
        .  x = g(t), y = h(t), z = k(t)
        .  또는, s(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k (a≤t≤b)

     - 다음과 같이 선적분을 구함
          


4. 벡터함수(벡터장)의 선 적분

  ㅇ 평면 상에서의 선 적분
     - 벡터 함수 : F = P(x,y)i + Q(x,y)j
     - 적분 경로 : s(t) = x(t)i + y(t)j (a≤t≤b)
     - 평면 선 적분
         공간 상에서의 선 적분
     - 벡터 함수 : F = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k
     - 적분 경로 : s(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (a≤t≤b)
     - 공간 선 적분
         


5. 선 적분 응용 例)

  ㅇ (스칼라장의 선 적분)
     - 곡선을 따라 놓여있는 불균일한 밀도를 갖는 철사의 총 질량을 구함
     - 다변수 함수온도를 나타내면 선적분을 통해 평균 온도를 알아낼 수 있음

  ㅇ (벡터장의 선 적분)
     - 곡선을 따라 물체에 점 마다 달리 작용하는 에 의해 수행되는 을 구함


[다중 적분] 1. 다중 적분 2. 선 적분 3. 면 적분,체적 적분

 
        최근수정     요약목록     참고문헌