군의 종류

(2018-02-27)

Cyclic Group, 순환 군, Subgroup, 부분 군, Semi-group, 반군, Monoid, 모노이드

1. ( 보다 약한 공리를 갖는 군들)

  ㅇ 반군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합 
     - 덧셈에 대해(하나의 이항연산에 대해) `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립

  ㅇ 모노이드 (Monoid)       : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
     - 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
        . 例) `0`과 자연수 전체의 집합은, 
           .. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조이며,
           .. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨

  ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
     * 즉,  반군 < 모노이드 < 군


2. 의 종류

  ㅇ 유한 군, 무한 군 
     - 유한 군 (Finite Group)   : 의 원소 개수가 유한 
     - 무한 군 (Infinite Group) : 의 원소 개수가 무한
     * 원소의 개수 => 위수 (Order)

  ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
     - 한 원소로 의 모든 원소를 나타낼 수 있는 
        . 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 
           .. 이 때 원소 a를 생성원(generator)라고 함 
     - 표기
        . 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
        . 위수 n인 순환군 Cn
     * 순환군은  중에서 가장 간단한 구조를 갖음

  ㅇ 덧셈 군(Additive Group), 곱셈 군(Multiplicative)
     - 덧셈 군 : 이항 연산이 덧셈 연산
     - 곱셈 군 : 이항 연산이 곱셈 연산가환군(Communtative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)
     - 에 관한 4가지 공리에다가,
     - 추가적으로 교환법칙도 만족하는 


3. 부분 군 

  ㅇ 부분 군 (Subgroup)
     - 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군
        . 집합부분 집합, 선형 공간부분 공간이 있듯이, 군에도 부분 군이 있음
     - 부분군 표기 : H를 군 G의 부분군이라하면, 이를 `H ≤ G`로 표기함
     - 한편, 모든 부분공간이 자기자신 및 영공간부분공간으로 갖듯이,
             모든 군도 자기자신 및 항등원부분군으로 갖음

  ㅇ 진 부분 군 (Proper Subgroup) / 비 진 부분 군 (Improper Subgroup)
     - 집합부분집합진부분집합(Proper Subset),비진부분집합(Improper Subset)으로 구분되듯
     - 자기자신을 원소로 포함하느냐에 따라, 진부분군,비진부분군으로 구분됨

  ㅇ 정규 부분군 (Normal Subgroup)
     - 군 G의 부분군 H 내 모든 원소가 a H = H a 를 만족


4. 대칭 방정식의 풀이가능성(가해성,Solvability)과 관련되어 핵심적인 수학적 요소

  ㅇ 치환  (Permutation Group)
     - 치환(Permutation) : 집합 A 위에서 전단사함수
     - 치환 군(Permutation Group) : 합성함수 연산에 의해 이 되는 A의 치환들의 모임
        . 집합 A에서 자기자신으로 가는 전단사 함수들의 


[군(Group)] 1. 군(Group) 2. 군의 종류 3. 가환군 4. 대칭성 5. 대칭 조작 6. 치환
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
        3.   선형 대수학
        4.   추상대수학
              1. 추상 대수학
              2. 대수 구조
          1.   연산
          2.   군(Group)
            1.   1. 군(Group)
                2. 군의 종류
                3. 가환군
                4. 대칭성
                5. 대칭 조작
                6. 치환
          3.   환(Ring)
          4.   체(Field)
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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