군의 종류

(2018-02-27)

Cyclic Group, 순환 군, Subgroup, 부분 군, Semi-group, 반군, Monoid, 모노이드

1. ( 보다 약한 공리를 갖는 군들)

  ㅇ 반군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합 
     - 덧셈에 대해(하나의 이항연산에 대해) `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립

  ㅇ 모노이드 (Monoid)       : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
     - 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
        . 例) `0`과 자연수 전체의 집합은, 
           .. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조이며,
           .. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨

  ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
     * 즉,  반군 < 모노이드 < 군


2. 의 종류

  ㅇ 유한 군, 무한 군 
     - 유한 군 (Finite Group)   : 의 원소 개수가 유한 
     - 무한 군 (Infinite Group) : 의 원소 개수가 무한
     * 원소의 개수 => 위수 (Order)

  ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
     - 한 원소로 의 모든 원소를 나타낼 수 있는 
        . 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 
           .. 이 때 원소 a를 생성원(generator)라고 함 
     - 표기
        . 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
        . 위수 n인 순환군 Cn
     * 순환군은  중에서 가장 간단한 구조를 갖음

  ㅇ 덧셈 군(Additive Group), 곱셈 군(Multiplicative)
     - 덧셈 군 : 이항 연산이 덧셈 연산
     - 곱셈 군 : 이항 연산이 곱셈 연산가환군(Communtative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)
     - 에 관한 4가지 공리에다가,
     - 추가적으로 교환법칙도 만족하는 


3. 부분 군 

  ㅇ 부분 군 (Subgroup)
     - 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군
        . 집합부분 집합, 선형 공간부분 공간이 있듯이, 군에도 부분 군이 있음
     - 부분군 표기 : H를 군 G의 부분군이라하면, 이를 `H ≤ G`로 표기함
     - 한편, 모든 부분공간이 자기자신 및 영공간부분공간으로 갖듯이,
             모든 군도 자기자신 및 항등원부분군으로 갖음

  ㅇ 진 부분 군 (Proper Subgroup) / 비 진 부분 군 (Improper Subgroup)
     - 집합부분집합진부분집합(Proper Subset),비진부분집합(Improper Subset)으로 구분되듯
     - 자기자신을 원소로 포함하느냐에 따라, 진부분군,비진부분군으로 구분됨

  ㅇ 정규 부분군 (Normal Subgroup)
     - 군 G의 부분군 H 내 모든 원소가 a H = H a 를 만족


4. 대칭 방정식의 풀이가능성(가해성,Solvability)과 관련되어 핵심적인 수학적 요소

  ㅇ 치환  (Permutation Group)
     - 치환(Permutation) : 집합 A 위에서 전단사함수
     - 치환 군(Permutation Group) : 합성함수 연산에 의해 이 되는 A의 치환들의 모임
        . 집합 A에서 자기자신으로 가는 전단사 함수들의 


[군(Group)] 1. 군(Group) 2. 군의 종류 3. 가환군 4. 대칭성 5. 대칭 조작 6. 치환

 
        최근수정     요약목록(시험중)     참고문헌