Calculus of Variations, Variational principle, Variational Method   변분법, 변분 원리

(2020-02-14)

Functional, 범함수

1. 변분법, 변분 원리 이란?

  ㅇ 변분법/변분학 (Calculus of Variations)
     - 특정한 어떤 적분값이 최대 또는 최소가 되는 함수를 찾는 문제를 다룸
        . 어떤 조건에 맞는 변수 값을 찾기 보다는, 
        . 적절한 함수곡선을 찾는 최대/최소 문제 또는 최적 문제

     - 변분법은, 미적분학의 일종이지만, 
        . 미적분학과는 달리, 함수 그 자체를 변수로 하는 범함수(Functional)를 다룸

     - 주로, 최대(maxima),최소(maxma)를 다루는 문제/이론  ☞ 최적 문제 참조
        . 例) 두 점 사이에 최단 거리를 주는 경로를 결정하는 것 등  ☞ 페르마 원리 참조

  ㅇ 변분원리 (Variational principle)
     - 여러 과학법칙을 변분법과 관련시켜 일반원리로 공식화한 것


2. 변분법 문제

  ㅇ 어떤 적분을 최소화 또는 최대화시키는 함수를 구하는 것
     - 아래의 `범함수 : 적분 범함수(Integral Functional)`의 값을, 최소화/최대화하는 문제
        
[#I = \int^{x_2}_{x_1} F(x,y,y')dx#]
- 여기서, . I는, 최소화/최대화시키고 싶은 량(量) ☞ 정류점 참조 . F는, 제시된 변수들(x,y,y')로써, 알려지는/주어지는 함수 . 목표는, 적분 I가 최소화/최대화되도록 하는 곡선 y = y(x)를 구하는 것 ㅇ 미분적분학,변분법 문제 비교 - 미분적분학에서 극값 문제 . 주로 몇개의 독립변수의 함수의 극값을 찾는 문제 - 변분법에서 극값 문제 . 범함수 자체 극값을 찾는 문제 ㅇ 미분방정식적분하여, 등가적인 변분법 문제로 변환 가능 3. 변분법의 수치적 방법 종류모멘트법 (MOM, Method of Moments) ㅇ 유한요소법 (FEM, Finite Element Method) 4. 변분법 관련 용어 ㅇ 범함수 (Functional) - 함수를 변수로 갖는 함수 . 보통의 함수와는 달리, 독립변수가 숫자가 아닌 함수 즉, 함수의 함수 - 함수 집합 위에서 정의되고, 그 값이 실수 또는 복소수를 취하는 함수 - 정의역이 함수들의 공간인 함수 ㅇ 최대값(Maximum), 최소값(Minimum), 극값(Extremum) - 최대값 : 함수 f가 최대가 되는 값 - 최소값 : 함수 f가 최소가 되는 값 - 극값 : 함수 f가 최대 또는 최소인 값 ㅇ 정상값/정류점/정상점 (Stationary Point) - 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점) . 최대점,최소점,수평 변곡점을 말함 - 대개, 정류점에서 극값을 갖음


[최적화] 1. 최적 문제 2. 최적화 문제 용어 3. 최적화 문제 구분 4. 변분법 5. 라그랑주 승수법 6. 비용 함수 7. 선형계획법
[극값]
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
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                1. 최적 문제
                2. 최적화 문제 용어
                3. 최적화 문제 구분
                4. 변분법
                5. 라그랑주 승수법
                6. 비용 함수
                7. 선형계획법
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