Mathematical Induction, Proof by Induction   수학적 귀납법

(2019-04-06)

귀납법, Inductive, 귀납적, Principle of Mathematical Induction, 수학적 귀납법 원리

1. 수학적 귀납법

  ㅇ 어떤 결과를 증명하는데 사용되는 유용한 증명 방법 중 하나
     - 개별 사실들을 기초(증거)로 하여 일반 결론을 끌어내는 논증 방법


2. 수학적 귀납법의 논증 구성,방법,사용예

  ㅇ 개요
     - 특정 명제들이 참 이라는 사실로부터, 
     - 일련의 명제들이 참 임을 밝혀(일반 결론을 추론해)내는 증명법

  ㅇ 증명 구성
     - 귀납 가정(induction hypothesis)      : 임의의 k에 대해 P(k)가 참이라는 가정
     - 귀납 기초(induction base,basis step) : P(1)이 참임을 증명
     - 귀납 절차(induction step)            : P(k)가 참일 때, P(k+1)도 참임을 보이는 증명증명 방법
     - 두 단계(귀납기초,귀납절차)의 증명을 차례로 완성함
        . ①  P(1)이 참 임을 증명
        . ②  모든 임의 k(k≥1)에 대하여,  P(k) ⇒ P(k+1)이 참(true) 임을 증명
           .. 즉, 임의 k에 대해 P(k)가 참이라 가정하고, 
           .. 이 가정하에 P(k+1)도 참임을 보임

  ㅇ 사용 例
     - 급수 공식, 항등식, 부등식, 알고리즘 복잡성 등에 대한 결과를 증명하는데 쓰임
        . 수열재귀적으로 정의할 때, 이 수열을 귀납법으로 증명할 수 있음 등


3. 수학적 귀납법 특징/역사

  ㅇ 매우 중요한 수학적 기초
     - 증명의 한 가지 방법으로 이용되고 있음

  ㅇ [수학적 귀납법 역사]
     - 최초 엄밀한 증명 사례 : 1575년 Francesco Maurolico 
     - 최초 용어 사용        : 1838년 Augustus De Morgan

  ㅇ 공식이나 정리를 발견하거나 직관을 얻기위해 사용되지는 않음
     - 다만, 부분적인 사실들로부터 전체를 추론해 보는 방식에는 폭넓게 응용 가능
        . 관찰과 실험을 통해 얻어진 부분적이고 특수한 사례를 근거로,
        . 이를 전체에 적용시키는 이른바 '귀납적 비약'을 통해 이루어짐

  ※ 위대한 과학자들의 사유 방법 : 단순성의 원칙 
     - 복잡한 현상을 단순한 기본 개념/관계로 되돌리며 즉, 귀납(歸納)시키려는 시도를 말함
     - 한편, 귀납적 분류 이란?
        . 자연 현상을 몇가지의 단순한 분류로 귀납시키려는 것


[추론,논증] 1. 추론 2. 증명(proof) 3. 수학적 귀납법 4. 귀류법 5. 연역법
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
        1.   집합
        2.   논리
              1. 수리 논리학
              2. 논리식
              3. 명제(proposition)
              4. 술어(predicate)
              5. 공리(axiom)
              6. 정리(theorem)
              7. 정의(definition)
              8. 동치(equivalence)
          1.   추론,논증
            1.   1. 추론
                2. 증명(proof)
                3. 수학적 귀납법
                4. 귀류법
                5. 연역법
        3.   관계
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  7.   정보기술(IT)
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  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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