Multinomial Distribution   다항 분포

(2020-01-21)
1. 다항 분포 (다항 확률분포)이항분포를 일반화시킨 확률분포


2. 다항 실험의 조건

  ㅇ (독립성)  다항 실험은 n개의 독립적인 시행으로 구성됨
     - 즉, 매 시행 마다, 서로간에 상호독립적(상호배반적) 임 

  ㅇ (범주형)  매 시행 결과는 k개 종류/범주 중 하나에 속함

  ㅇ (확률 일관성)  매 시행 마다 발생 확률이 동일
     - n번 시행 동안 각 발생 확률은 변하지 않음
     - 매 시행 마다 각 종류/범주 i로 발생하는 확률은 동일 : pi
     - p1 + p2 + ... + pk = 1


3. 다항 분포의 표현

  ㅇ (확률질량함수)
     - 확률변수 {# X_1,X_2,\cdots,X_k #}의 결합확률분포로써 다음과 같이 정의됨
         
[# P[X_1,X_2, \cdots ,X_k] = \begin{pmatrix} n \\ x_1,x_2,\cdots,x_k \end{pmatrix} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k} #]
. 여기서, .. 다항 계수 : n개 물건 중 같은 것(유형)끼리 k개 그룹으로 구분하는 경우의 수
[# \begin{pmatrix} n \\ x_1,x_2,\cdots,x_k \end{pmatrix} = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} \qquad (x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n)#]
4. 다항 분포의 확률적 특징표본 공간 : S = {s1,s2, ... , sk} ㅇ 각 시행 결과의 발생확률 : P[si] = pi - 시행 결과가 범주 i에 속할 확률 - p1 + p2 + ... + nk = 1 ㅇ 결과의 종류/범주 : k개 또는 k항 - 만일, k=1 이면 이항분포가 됨 ㅇ 표기 : X ~ pi - 다항분포의 모수 : 확률 pi (i=1,2,...,k) ㅇ 시행 횟수 - 확률변수 Xi : n번의 시행 중 시행 결과가 범주 i에 속하는 시행 횟수 . 즉, x1 + x2 + ... + xk = n . 또는, n1 + n2 + ... + nk = n ㅇ 확률변수 Xi기대치 : E[Xi] = n pi확률변수 Xi분산 : V[Xi] = n pi (1 - pi)


[이산확률분포] 1. 이산확률분포 요약 2. 이산 균등분포 3. 베르누이 분포 4. 이항 분포 5. 음 이항 분포 6. 기하 분포 7. 초기하 분포 8. 포아송 분포 9. 다항 분포

 
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