Isomorphism, Homomorphism, Automorphism   동형 사상, 준 동형 사상, 자기 동형 사상

(2018-02-13)
1. 동형, 준동형, 사상 이란?

  ㅇ 동형 (Isomorphic)
     - 표현방법(외형)이 다를뿐, 구조상 동일시할 수 있는 2 이상의 수학적 대상물 
     - `똑같은 형식(iso + morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래

  ㅇ 준동형 (Homomorphism)
     - 동형의 일반화로써, 2 이상의 수학적 대상물이 구조상 닮음
     - `닮은 형식(homo + morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래

  ㅇ 사상 (Morphism 또는 Mapping, 寫像) 
     - 변환/사상에서, 대수 구조를 그대로 보존하는 경우를 말함
        . 즉, 변환(함수 등) 전후에도 `수학적 구조`를 그대로 보존함을 추상화한 것
     - `형식/형태(morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래

  ㅇ 따라서, 
     - 동형 사상 이란?
        . 두 대상물 간에 어떤 변환/사상/함수(규칙)이 존재할 때,
        . 원래 구조가 그대로 보존되는 경우를 말함
     - 준동형 사상 이란?
        . 원래 구조가 닮게 보존되는 경우를 말함


2. 준동형/동형/자기동형 사상의 비교

  ㅇ 준 동형 사상 (homomorphism)
     - 두 대상 간의 변환/사상/함수에서 대수적 구조를 보존하는 경우로써,
        .  (G,*)에서  (H,·)으로의 함수 f : G→H 일때,
        . f(a * b) = f(a)·f(b) 가 성립
           .. 두 이항연산인 좌변의 `*`과 우변의 `·`이,
           .. 두  G,H 사이에 대수적 구조를 보존

     - 단사 함수(Injection) 또는 전사 함수(Surjection)일 때를 말함
        . 굳이, 전단사 함수(1:1 대응)일 필요까지는 없는 경우

  ㅇ 동형 사상 (isomorphism)
     - 두 대상 간의 변환/사상/함수에서 대수적 구조를 보존하는 경우로써,

     - 전단사 함수(1:1 대응,Bijection)일 때를 말함

     - 결국,
        . 준동형사상은 동형사상의 일반화이고, 
        . 동형사상은 준동형사상의 특별한 형태로서, 
           .. 동형사상은 준동형사상에서 전단사 함수(1:1 대응)인 경우를 말함

  ㅇ 자기 동형 사상 (automorphism)
     - 이 자신에서 자신으로의 동형 사상일 때를 말함
        . 일반적으로, 대칭(Symmetry)과 같은 의미


[연산] 1. 연산 2. 이항 연산 3. 항등원,역원 4. 교환/결합/분배 법칙 5. 동형/준동형/자기동형 사상

 
        최근수정     요약목록(시험중)     참고문헌