Identity Element, Inverse Element, Multiplicative Unity   항등원, 역원, 단위원

(2018-02-13)

Zero Element, 영원

1. 항등원 (Identity)집합 내 모든 원소 a가 어떤 연산 *에 대해 다음 조건을 만족하는 원소 e
     -  a * e = e * a = a

  ㅇ 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기
     - 연산을 해도 변치않는(원래 원소와 그대로 같아지는) 원소

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ, 실수 집합 ℝ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에 대한 항등원 : 0 (덧셈 항등원 e => `영원`)

     - 곱셈(×) 연산에 대한 항등원 : 1 (곱셈 항등원 u => `단위원`)


2. 역원 (Inverse Element,Inverses) 집합 내 원소 a에 연산 *을 취하면 항등원 e를 만드는 원소 x
     -  a * x = x * a = e

  ㅇ 보통, 
     -  덧셈에 대해서는 -a 로 표기
     -  곱셈에 대해서는 a-1 로 표기

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
     - 곱셈(×) 연산에서 1,-1 이외의 모든 다른 원소에서 역원이 없음
        . 1 x 1 = 1, (-1) x (-1) = 1

  ㅇ 例)  실수 집합 ℝ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
     - 곱셈(×) 연산에서 0 이외의 모든 원소에서 역원이 존재함
        . 1의 역원 1, 2의 역원 2-1=1/2, 3의 역원 3-1=1/3 ... 등


3. 영원 (Zero)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에서의 항등원을 일컬음
     -  a + 0 = a

  ㅇ (명칭/표기)  `0`, `identity`, `zero element`, `additive identity` 등


4. 단위원 (Multiplicative Unity, 때론 Identity)

  ㅇ 곱셈(x) 연산에서의 항등원을 일컬음
     -  a x u = u x a = a

  ㅇ (명칭/표기)  `1`, `unity`, `unit element`, `multiplicative identity` 등


5. 가역원 (Multiplicative Unit, Invertible) 또는 단원(Unit)

  ㅇ 0이 아닌 원소들이 모두 곱셈 역원을 갖지는 못하므로,
     - 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소들을 가역원/단원 이라고 함
        .  a x a-1 = a-1 x a = u

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 정수 2 이상에서는 곱셈에 대해 역원을 갖지 못하므로 가역원이 아님
        . (즉, 2 a = 1, a = 0.5)
     - 따라서, 정수 집합에서 가역원은 1,-1 뿐임
     - 그러나, -1은 가역원이지만 단위원은 아님 
        . (즉, -1 x 1 ≠ 1 )


[연산] 1. 연산 2. 이항 연산 3. 항등원,역원 4. 교환/결합/분배 법칙 5. 동형/준동형/자기동형 사상
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
        3.   선형 대수학
        4.   추상대수학
              1. 추상 대수학
              2. 대수 구조
          1.   연산
            1.   1. 연산
                2. 이항 연산
                3. 항등원,역원
                4. 교환/결합/분배 법칙
                5. 동형/준동형/자기동형 사상
          2.   군(Group)
          3.   환(Ring)
          4.   체(Field)
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
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  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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