Identity Element, Inverse Element, Multiplicative Unity   항등원, 역원, 단위원

(2017-09-27)

Zero Element, 영원

1. 항등원 (Identity)집합 내 모든 원소 a가 어떤 연산 *에 대해 다음 조건을 만족하는 원소 e
     -  a * e = e * a = a

  ㅇ 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기
     - 연산을 해도 변치않는(원래 원소와 그대로 같아지는) 원소

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ, 실수 집합 ℝ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에 대한 항등원 : 0 (덧셈 항등원 e => 영원)
     - 곱셈(×) 연산에 대한 항등원 : 1 (곱셈 항등원 u => 단위원)


2. 역원 (Inverse) 집합 내 원소 a에 연산 *을 취하면 항등원 e를 만드는 원소 x
     -  a * x = x * a = e

  ㅇ 보통, 덧셈에 대해서는 -a 로 표기, 곱셈에 대해서는 a-1 로 표기

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
     - 곱셈(×) 연산에서 1,-1 이외의 모든 다른 원소에서 역원이 없음
        . 1 x 1 = 1, (-1) x (-1) = 1

  ㅇ 例)  실수 집합 ℝ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
     - 곱셈(×) 연산에서 0 이외의 모든 원소에서 역원이 존재함
        . 1의 역원 1, 2의 역원 2-1=1/2, 3의 역원 3-1=1/3 ... 등


3. 영원 (Zero)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에서의 항등원을 일컬음
     -  a + 0 = a

  ㅇ 보통, 0 으로 표기


4. 단위원 (Multiplicative Unity, 때론 Identity)

  ㅇ 모든 원소 a에 대한 곱셈 항등원
     -  a x u = u x a = a

  ㅇ 보통, u(Unity) 또는 1 로 표기 


5. 가역원 (Multiplicative Unit, Invertible) 또는 단원(Unit)

  ㅇ 0이 아닌 원소들이 모두 역원을 갖지는 못하여서,
     - 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소들을 가역원/단원 이라고 함
        .  a x a-1 = a-1 x a = u

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 정수 2는 곱셈에 대해 역원을 갖지 못하므로 가역원이 아님
        . (즉, 2a=1, a=0.5)
     - 따라서, 정수 집합에서 가역원은 1,-1 뿐임
     - 그러나, -1은 가역원이지만 단위원은 아님 
        . (즉, -1 x 1≠1 )


[연산]1. 연산  2. 이항 연산  3. 항등원,역원  4. 교환/결합/분배 법칙  5. 동형사상  
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                3. 항등원,역원
                4. 교환/결합/분배 법칙
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