Identity Element, Inverse Element   항등원, 역원

(2023-12-03)

Zero Element, 영원, Invertible Element, 가역원, Multiplicative Unity, 단위원, Multiplicative Unit, 단원


1. 특별한 원소들 집합 위에 연산이 정의되고, 
     - 이때 특정 연산 조건을 만족하는 어떤 원소가 존재할 때,
     - 그러한 특별한 원소들을 일컫는 용어들

  ㅇ 종류
     - 항등원 (덧셈 영원, 곱셈 단위원)
     - 역원 (덧셈 역원, 곱셈 가역원)


2. 항등원 (Identity)연산을 해도 변치않는(원래 원소와 그대로 같아지는) 원소

  ㅇ 집합 내 모든 원소 a가 어떤 연산 *에 대해 다음 조건을 만족하는 원소 e
     -  a * e = e * a = a

  ㅇ 표기
     - 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어) 또는 u 등으로 표기

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ, 실수 집합 ℝ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에 대한 항등원 : 0 (덧셈 항등원 e => `영원`)
     - 곱셈(×) 연산에 대한 항등원 : 1 (곱셈 항등원 u => `단위원`)


3. 영원 (Zero)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에서의 항등원을 일컬음
     -  a + 0 = a

  ㅇ (명칭/표기)
     -  `0`, `identity`, `zero element`, `additive identity` 등


4. 단위원 (Multiplicative Unity, 때론 Identity)

  ㅇ 곱셈(x) 연산에서의 항등원을 일컬음
     -  a x u = u x a = a  또는  a x 1 = 1 x a = a

  ㅇ (명칭/표기)
     -  `1`, `u`, `unity`, `unit element`, `multiplicative identity` 등


5. 역원 (Inverse, Inverse Element) 집합 내 원소 a에 연산 *을 취하면 항등원 e를 만드는 원소 x
     -  a * x = x * a = e

  ㅇ 표기 
     -  덧셈에 대해서는 -a 로 표기 (때론, 이를 반원 negative element 라고도 함)
     -  곱셈에 대해서는 a-1 로 표기

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
        . (2) + (-2) = 0
     - 곱셈(×) 연산에서 1,-1 이외의 모든 다른 원소에서 역원이 없음
        . 1 x 1 = 1, (-1) x (-1) = 1

  ㅇ 例)  실수 집합 ℝ 에서,
     - 덧셈(+) 연산에서 2의 역원 : -2
     - 곱셈(×) 연산에서 0 이외의 모든 원소에서 역원이 존재함
        . 1의 역원 1, 2의 역원 2-1=1/2, 3의 역원 3-1=1/3 ... 등

  ㅇ [참고] ☞ 역 행렬, 역 함수, 가역적(Invertible) 등 참조


6. 단원 (Multiplicative Unit, 때론 Unit) 또는 가역원 (Invertible Element)

  ㅇ 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소
     - 0이 아닌 원소들이 모두 곱셈 역원을 갖지는 못하므로,
     - 곱셈에 대해 역원을 갖을 수 있는 원소들을 가역원/단원 이라고 함
        .  a x a-1 = a-1 x a = u

  ㅇ 例)  정수 집합 ℤ 에서,
     - 정수 2 이상은, 곱셈에 대해 역원을 갖지 못하므로 가역원이 아님
        . (즉, 2 a = 1, a = 0.5, 3 a = 1, a = 0.333... 등)
     - 따라서, 정수 집합에서 가역원은 1,-1 뿐임
     - 그러나, -1은 가역원이지만 단위원은 아님 
        . (즉, -1 x 1 ≠ 1 )

연산
   1. 연산   2. 이항 연산   3. 항등원(영원,단위원),역원   4. 교환/결합/분배 법칙   5. 동형/준동형/자기동형 사상  


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