Lagrangian, Hamiltonian   라그랑지안, 해밀토니안

(2018-01-09)
1. 라그랑지안

  ㅇ 라그랑지안 함수
     - 물리계의 동역학적인 성질을 나타내는 함수로서의 물리량
        . 위치,속도,시간함수 : 
        . 계의 에너지를 `운동에너지(T)와 위치에너지(V)와의 차이`로 표현 : 
     
  ㅇ 라그랑지 방정식 = 라그랑지안 운동방정식
     - 라그랑지안을 알고 이로부터 라그랑주 방정식에 대입하여 운동방정식을 얻게됨
     - 1차원 라그랑지 방정식 : 
     - n차원 라그랑지 방정식 : 

  ㅇ n개 좌표 q1,q2,...,qn에 의한 표현 (n개의 자유도를 갖는 계)
     - 라그랑지안 : 
     - 라그랑지 방정식 : 
        . q : 일반화 좌표,  : 일반화 속도 


2. 해밀토니안

  ㅇ 해밀토니안 함수 
     - 물리계의 동역학적인 성질을 나타내는 함수로서의 물리량
        . 운동량,위치,시간함수 : 
        . 계(系)의 에너지운동량 좌표 p 와 공간 좌표 q 로 표현한 것

     - 1차원 해밀토니안 : 
     - n차원 해밀토니안 : 
        .  : 일반화 운동량, q : 일반화 좌표


3. 해밀턴 원리 (Hamilton's principle)변분원리(Variational principle) 또는 최소작용의 원리(principle of least action)
     라고도 함

  ㅇ 동역학 계에서 운동시간적 진행은 작용량(action)을 최소화 함
     - 주어진 시간 동안 역학계를 하나의 배위로부터 다른 배위로 가져가는 가능한 모든 운동 중에
     - 실제로 취하는 경로는 계의 라그랑지안의 시간적분을 최소로 하는 경로가 됨

  ㅇ 즉, 움직이는 입자시간 t 동안 
     - 라그랑지안(운동에너지위치에너지와의 차이) ∫t (T - V) dt 를
       최소화하는 경로를 따라감


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