Optimal Problem, Optimization Problem   최적 문제, 최적화 문제

(2018-03-31)

Optimization, 최적화, Objective Function, 목적 함수

1. 최적 문제/최적화 문제 (Optimal Problem)

  ㅇ [일반]
     - 1 이상의 해답 후보들이 있고, 그 해답 후보 중에 최적 값이 있게되는 문제

  ㅇ [수학]
     - 변수의 어느 영역에서 함수극값(최대값 또는 최소값)을 구하는 문제
        . 1 이상의 변수에 의존하는 함수최대값최소값을 찾는 것

     - 한편, `근 구하기 문제`는 함수 방정식의 근을 찾는 문제이나,
             `최적화 문제`는 함수의 최소(최대) 값을 찾는 문제임
        . f'(x) = 0 은 최적점임(곡선 위의 평탄한 점)을 나타내며,
        . f˝(x) = 0 은 최소값(f˝(x) > 0)인지 최대값(f˝(x) < 0)인지를 나타냄

  ※ [응용]
     - 공학,경제,물리 등 많은 분야에서 다양한 응용을 갖음
        . 성능과 제약조건 사이에서 이해득실(상충관계)를 따져야하는 수많은 설계 최적화 문제

     - 원하는 목표(함수값을 최소화 또는 최대화)를 만족시키는 최적의 변수 값을 찾는 문제
        . 例1) 차량의 연료 소모를 최소화하는 이동 경로를 찾는 문제
        . 例2) 가장 가까운 길을 찾는 문제
        . 例3) 최소비용신장트리를 구하는 문제 등

     - `최적화 문제`는 때로는 `수학적 프로그래밍(Mathematical Programming)`이라고도 불리움


2. 최적화 문제의 필수 요소 셋

  ㅇ 목적 함수 (Objective Function)
     - 최적화시키려는 대상
  ㅇ 제약식/제약조건/구속조건 (Constraints)
     - 해당 문제에 주어지는 제약
  ㅇ 함수와 식(조건)에 나타내는 결정 변수 (Decision Variables)
     - 의사결정자가 통제 가능한 변수


3. 최적화 문제 구분

  ㅇ 제약조건(구속조건) 존재 여부
     - 비 구속 최적화(Unconstrained Optimization) 문제
        . 별도의 제약조건이 없는 경우
     - 구속 최적화(Constrained Optimization) 문제 
        . 목적 함수 외에 파라미터가 만족해야 할 별도의 제약조건이 있는 경우

  ㅇ 목적함수(비용함수) 및 제약조건(구속조건)이 선형적 여부
     - 목적함수 및 구속조건(식)이 1차 함수(선형적)         : 선형 프로그래밍 문제(선형계획법)
     - 목적함수가 2차 함수이고 구속조건이 1차 함수(선형적) : 2차 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 1차/2차 함수도 아니거나 또는 구속조건이 비선형 : 비선형 프로그래밍 문제

  ㅇ 차원별
     - 일차원/일변수 최적화 문제 : 목적함수가 1개의 종속변수에 만 의존
     - 다차원/다변수 최적화 문제 : 목적함수가 2 이상의 종속변수에 의존

  ㅇ 기타 구분
     - 정수 계획법 : 선형계획법 문제에서 구하려는 해가 정수값을 가져야 한다는 전제가 있음
     - 심플렉스법 : 선형계획법에서 최적해를 구하는 알고리즘


4. 최적화 문제 관련 주요 용어최대값(Maximum/Absolute Maxima), 최소값(Minimum/Absolute Minima), 극값(Extremum)
     - 최대값 : 함수 f가 최대가 되는 값
     - 최소값 : 함수 f가 최소가 되는 값
     - 극값   : 함수 f가 최대 또는 최소인 값
     * 극값을 구할 수 있으면,
        . 주어진 상황에서 최적의 방법을 찾는 다양한 문제를 풀 수 있음

  ㅇ 극값의 성질을 나타내는 점
     - 임계점, 정류점, 특이점

  ㅇ 대상 함수/목적 함수 (Objective Function)
     - 극값(최대값 또는 최소값)을 구하려는 대상이되는 함수
     - 최적화 문제에서 목적하는 바는,
        . 어떤 목적 함수 값을 최적화(최대화 또는 최소화)시키는 파라미터(변수) 조합을 찾는 것

  ㅇ 제약조건/구속조건 (Constraints)
     - 주로, 서로 상충관계인 목표들을 복잡하게 아우르는 조건식

  ㅇ 변분법 (Calculus of Variations)
     - 특정한 어떤 적분값이 최대 또는 최소가 되는 함수를 찾는 문제를 다룸


[최적화] 1. 최적 문제 2. 변분법 3. 라그랑주 승수법 4. 극값,정류점,임계점 5. 특이점 6. 함수의 증가 감소 7. 오목,볼록,변곡점
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
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      5.   확률/통계
        1.   확률 이란?
        2.   확률공간
        3.   확률 모형,분포
              1. 랜덤성
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          1.   확률 함수
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                1. 정규분포
                2. 로그 정규분포
                3. 이변량 정규분포
            1.   표준 정규분포
              1.   1. 표준 정규분포(Z 분포)
                  2. Q 함수
                  3. z 값
                  4. 오차함수
        4.   확률 변수
        5.   확률 과정
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      6.   수치해법
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  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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