Optimal Problem, Optimization Problem   최적 문제, 최적화 문제

(2018-03-31)

Optimization, 최적화, Objective Function, 목적 함수

1. 최적 문제/최적화 문제 (Optimal Problem)

  ㅇ [일반]
     - 1 이상의 해답 후보들이 있고, 그 해답 후보 중에 최적 값이 있게되는 문제

  ㅇ [수학]
     - 변수의 어느 영역에서 함수극값(최대값 또는 최소값)을 구하는 문제
        . 1 이상의 변수에 의존하는 함수최대값최소값을 찾는 것

     - 한편, `근 구하기 문제`는 함수 방정식의 근을 찾는 문제이나,
             `최적화 문제`는 함수의 최소(최대) 값을 찾는 문제임
        . f'(x) = 0 은 최적점임(곡선 위의 평탄한 점)을 나타내며,
        . f˝(x) = 0 은 최소값(f˝(x) > 0)인지 최대값(f˝(x) < 0)인지를 나타냄

  ※ [응용]
     - 공학,경제,물리 등 많은 분야에서 다양한 응용을 갖음
        . 성능과 제약조건 사이에서 이해득실(상충관계)를 따져야하는 수많은 설계 최적화 문제

     - 원하는 목표(함수값을 최소화 또는 최대화)를 만족시키는 최적의 변수 값을 찾는 문제
        . 例1) 차량의 연료 소모를 최소화하는 이동 경로를 찾는 문제
        . 例2) 가장 가까운 길을 찾는 문제
        . 例3) 최소비용신장트리를 구하는 문제 등

     - `최적화 문제`는 때로는 `수학적 프로그래밍(Mathematical Programming)`이라고도 불리움


2. 최적화 문제의 필수 요소 셋

  ㅇ 목적 함수 (Objective Function)
     - 최적화시키려는 대상
  ㅇ 제약식/제약조건/구속조건 (Constraints)
     - 해당 문제에 주어지는 제약
  ㅇ 함수와 식(조건)에 나타내는 결정 변수 (Decision Variables)
     - 의사결정자가 통제 가능한 변수


3. 최적화 문제 구분

  ㅇ 제약조건(구속조건) 존재 여부
     - 비 구속 최적화(Unconstrained Optimization) 문제
        . 별도의 제약조건이 없는 경우
     - 구속 최적화(Constrained Optimization) 문제 
        . 목적 함수 외에 파라미터가 만족해야 할 별도의 제약조건이 있는 경우

  ㅇ 목적함수(비용함수) 및 제약조건(구속조건)이 선형적 여부
     - 목적함수 및 구속조건(식)이 1차 함수(선형적)         : 선형 프로그래밍 문제(선형계획법)
     - 목적함수가 2차 함수이고 구속조건이 1차 함수(선형적) : 2차 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 1차/2차 함수도 아니거나 또는 구속조건이 비선형 : 비선형 프로그래밍 문제

  ㅇ 차원별
     - 일차원/일변수 최적화 문제 : 목적함수가 1개의 종속변수에 만 의존
     - 다차원/다변수 최적화 문제 : 목적함수가 2 이상의 종속변수에 의존

  ㅇ 기타 구분
     - 정수 계획법 : 선형계획법 문제에서 구하려는 해가 정수값을 가져야 한다는 전제가 있음
     - 심플렉스법 : 선형계획법에서 최적해를 구하는 알고리즘


4. 최적화 문제 관련 주요 용어최대값(Maximum/Absolute Maxima), 최소값(Minimum/Absolute Minima), 극값(Extremum)
     - 최대값 : 함수 f가 최대가 되는 값
     - 최소값 : 함수 f가 최소가 되는 값
     - 극값   : 함수 f가 최대 또는 최소인 값
     * 극값을 구할 수 있으면,
        . 주어진 상황에서 최적의 방법을 찾는 다양한 문제를 풀 수 있음

  ㅇ 극값의 성질을 나타내는 점
     - 임계점, 정류점, 특이점

  ㅇ 대상 함수/목적 함수 (Objective Function)
     - 극값(최대값 또는 최소값)을 구하려는 대상이되는 함수
     - 최적화 문제에서 목적하는 바는,
        . 어떤 목적 함수 값을 최적화(최대화 또는 최소화)시키는 파라미터(변수) 조합을 찾는 것

  ㅇ 제약조건/구속조건 (Constraints)
     - 주로, 서로 상충관계인 목표들을 복잡하게 아우르는 조건식

  ㅇ 변분법 (Calculus of Variations)
     - 특정한 어떤 적분값이 최대 또는 최소가 되는 함수를 찾는 문제를 다룸


[최적화] 1. 최적 문제 2. 변분법 3. 라그랑주 승수법 4. 극값,정류점,임계점 5. 특이점 6. 함수의 증가 감소 7. 오목,볼록,변곡점

 
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