Optimal Problem, Optimization Problem   최적 문제, 최적화 문제

(2018-10-29)

Optimization, 최적화, Objective Function, 목적 함수

1. 최적 문제/최적화 문제 (Optimal Problem)

  ㅇ [일반]
     - 1 이상의 해답 후보들이 있고, 그 해답 후보 중에 최적 값이 있게되는 문제
     * 최적이란, 주어진 조건(제약 조건) 하에 발휘할 수 있는 최대의 효율(최고의 성능)

  ㅇ [수학]
     - 변수의 어느 영역에서 함수극값(최대값/최소값 또는 극대값/극소값)을 구하는 문제
        . 1 이상의 변수에 의존하는 함수의 극대 및 극소를 찾는 것

     - 한편, `근 구하기 문제`,`최적화 문제` 비교
        . `근 구하기 문제`는, 함수 방정식의 근을 찾는 문제이나,
        . `최적화 문제`는, 함수의 최소(최대) 값을 찾는 문제임
           .. f'(x) = 0 은 최적점(곡선 위의 평탄한 점)을 나타내며,
           .. f˝(x) = 0 은 극소값(f˝(x) > 0)인지 극대값(f˝(x) < 0)인지를 나타냄

  ※ [응용]
     - 공학,경제,물리 등 많은 분야에서 다양한 응용을 갖음
        . 성능과 제약조건 사이에서 이해득실(상충관계)를 따져야하는 수많은 설계 최적화 문제

     - 원하는 목표(함수값을 최소화 또는 최대화)를 만족시키는 최적의 변수 값을 찾는 문제
        . 例1) 차량의 연료 소모를 최소화하는 이동 경로를 찾는 문제
        . 例2) 가장 가까운 길을 찾는 문제
        . 例3) 최소비용신장트리를 구하는 문제 등

     - `최적화 문제`는 때로는 `수학프로그래밍(Mathematical Programming)`이라고도 불리움


2. 최적화 문제의 필수 요소 셋

  ㅇ 목적 함수 (Objective Function)
     - 최적화시키려는 대상 (최대화 또는 최소화시키려는 형식을 갖음)

  ㅇ 제약조건/구속조건/제약식 (Constraints)
     - 해당 문제에 주어지는 제약 (등식 또는 부등식으로 표현됨)

  ㅇ 함수와 식(조건)에 나타내는 결정 변수 (Decision Variables) / 설계 변수 (Design Variable)
     - 의사결정자가 통제 가능한 변수
        . 한편, 각 설계 변수의 영향력을 분석하는 것을, 민감도 분석 이라고 함

  ※ 결정 변수 값을 바꾸어가면서, 목적 함수의 값을 최적화(최대화/최소화)하되,
     동시에 등식 또는 부등식으로 표현된 제약조건을 만족하도록 함


3. 최적화 문제 구분

  ㅇ 제약조건(구속조건) 존재 여부
     - 비 구속 최적화(Unconstrained Optimization) 문제
        . 별도의 제약조건이 없는 경우
     - 구속 최적화(Constrained Optimization) 문제 
        . 목적 함수 외에 파라미터가 만족해야 할 별도의 제약조건이 있는 경우

  ㅇ 목적함수(비용함수) 및 제약조건(구속조건)이 선형적 여부
     - 목적함수 및 구속조건(식)이 1차 함수(선형적)         : 선형 프로그래밍 문제(선형계획법)
     - 목적함수가 2차 함수이고 구속조건이 1차 함수(선형적) : 2차 프로그래밍 문제
     - 목적함수가 1차/2차 함수도 아니거나 또는 구속조건이 비선형 : 비선형 프로그래밍 문제

  ㅇ 차원별
     - 일차원/일변수 최적화 문제 : 목적함수가 1개의 종속변수에 만 의존
     - 다차원/다변수 최적화 문제 : 목적함수가 2 이상의 종속변수에 의존

  ㅇ 기타 구분
     - 심플렉스법  : 선형계획법 문제에서 최적해를 구하는 정형화된 알고리즘
     - 정수 계획법 : 선형계획법 문제에서 구하려는 해가 정수값을 가져야 한다는 전제가 있음
     - 동적 계획법 : 제약조건이 미분방정식이고, 목적함수가 적분형태로, 
                     여러 기간에 걸친 의사결정 문제를 다룸


4. 최적화 문제 관련 주요 용어

  ※ ☞ 최적화 문제 용어 참조


[최적화] 1. 최적 문제 2. 최적화 문제 용어 3. 변분법 4. 라그랑주 승수법 5. 극값,정류점,임계점 6. 특이점 7. 증가,감소 8. 오목,볼록,변곡점

 
        최근수정     요약목록(시험중)     참고문헌