Differential Equation Solution   미분방정식 해, 미분방정식의 해

(2019-09-29)

해, General Solution, 일반해, 완전해, Prticular Solution, 특수해, Complementary Solution, 보조해, 동차해, Singular Solution, 특이해

1. 미분방정식  ( 함수)미분방정식에 대입하였을 때 항등적으로 만족시키는 함수


2. 미분방정식 해의 종류

  ㅇ 자명해, 비자명해

     - 자명해 (trivial solution) = 쓸모없는 해, 무용한 해
        . 미분방정식을 항등적으로 만족시키는 자명한 해 ( y = 0 )

     - 비자명해 (nontrivial solution)
        . 일반적으로 미분방정식을 푼다는 것은 비자명해를 구하는 것

  ㅇ 일반해, 보조해, 특수해, 특이해

     - 일반해(완전해) (general solution)  
        . 미분방정식을 만족하는 모든 
           .. 특수해 yp 및 보조해 yh대수적으로 합한 보다 일반적인 
           .. 계수 n 만큼 독립적인 임의 상수(적분 상수 Cn)를 갖는 
        . 일반해 구성
           .. 일반해 = 특수해(특별 적분해/강제응답) + 보조해(동차해/고유응답/과도응답) 
           .. y = yp + yh = yp + (C1y1 + ... + Cnyn)
        . 시스템 응답 관점에서, 
           .. 일반해는 완전응답에 대응

     - 보조해/여함수/동차해/제차해 (complementary solution,homogenous solution) yh
        . `비 제차 미분방정식`을 `제차 미분방정식`으로 가정하여 구한 해
           .. 임의의 상수(적분상수)를 포함하고 있는 해
           .. y = C1y1 + ... + Ckyk + ... + Cnyn 
              (n계 선형 미분방정식의 경우, yk 등은 기본 해 집합)
        . 시스템 응답 관점에서, 
           .. 동차해는 `과도 응답` 또는 `자유 응답`에 대응
        . 영공간
           .. A x = 0 을 만족하는 모든 해 집합

     - 특수해/특성해 (prticular solution)  yp
        . 주어진 미분방정식을 만족시키는 개별적인 각각의 해
           .. 일반해에 포함된 임의 상수에 구체적인 값을 지정하고, 유일하게 얻을 수 있는 해
           .. 일반해의 임의 상수(적분 상수)에 특정 값을 대입하여 나온 해
        . 임의의 상수에 주어진 조건을 대입해 만족하는 해 함수
        . 미분방정식초기조건을 동시에 모두 만족하는 해 
           .. 초기조건 y(x。)=y。에 의해 일반해로부터 얻어짐 (초기값문제)
        . 주어진 문제의 유일한 해
        . 시스템 응답 관점에서, 
           .. 특수해는 `강제 응답(입력 만에 의한 응답)`에 대응

     - 특이해 (singular solution)
        . 일반해로부터 얻어질 수 없는 특이한 
        . 일반해에 어떠한 임의 상수를 지정하여도 얻어질 수 없는 
        . 일반해로는 표현이 불가능
        . 미분방정식으로부터 얻을 수 없는 


3. 해의 표현 형태양함수 해(explicit solution) :  y = f(x)
  ㅇ 음함수 해(Implicit solution) :  f(x,y) = 0
  ㅇ 매개변수 해 형태  :  x = x(α), y = y(α)


4. [참고사항]미분방정식의 해를 구하는 방법 ☞ 미분방정식 풀이 참조

  ㅇ 미분방정식의 해가 그리는 곡선해적분곡선,방향장 참조


[미분방정식 기초] 1. 미분방정식 2. 미분방정식 구분 3. 미분방정식 용어 4. 미분방정식 풀이 5. 미분방정식 해 6. 해적분곡선,방향장 7. 양함수,음함수 8. 미분 연산자 9. 선형,비선형 미분방정식 10. 상 미분방정식
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
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        3.   미분방정식
          1.   미분방정식 기초
            1.   1. 미분방정식
                2. 미분방정식 구분
                3. 미분방정식 용어
                4. 미분방정식 풀이
                5. 미분방정식 해
                6. 해적분곡선,방향장
                7. 양함수,음함수
                8. 미분 연산자
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          2.   초기값문제,경계값문제
          3.   1계 미분방정식
          4.   2계(고계) 미분방정식
          5.   급수해법
          6.   편미분방정식
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