Laplace Equation, Poisson's Equation   라플라스 방정식, 포아송 방정식

(2017-12-05)

Laplace 방정식, Poisson 방정식

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1. 포아송 방정식 (Poisson's Equation)전하밀도가 주어졌을 때, 전위 분포를 구하는 등에 유용한 방정식

     
     - 위 식에서 f(x,y,z) = 0 이면, 라플라스 방정식이 됨

  ㅇ 例) 전하밀도와 전위와의 관계 
     


2. 라플라스 방정식 (Laplace Equation)

  ㅇ 원천(source)이 없는 공간에서의 포텐셜 함수 분포를 구하는데 유용한 방정식

     
     - 위의 함수 u에 대해 가능한 물리량 例)
        . 전하가 없는 정전기 퍼텐셜(전위) [전기장]
        . 질량이 없는 중력 퍼텐셜         [중력장]
        . 열원이 없는 정상상태 온도
        . 비압축성 유체에 대한 속도 퍼텐셜(속도장) 등

  ㅇ 라플라스 방정식의 해를 조화함수(Harmonic Function)라고 부름
     - 조화 함수 : 임의 영역에서 라플라스 방정식을 만족하는 함수
     - 주어진 경계값을 만족하는 조화함수를 구하는 문제 => Dirichlet 문제


3. 경계값 문제에서 유일성 정리(Uniqueness Theorem)경계조건이 주어지는 선형 미분 방정식의 해는 유일하게 하나만 존재함
   
     - 어떤 방법(해석적,도식적,수치해석적,실험적 방법 등)을 써서라도
       주어진 영역 및 경계조건을 만족하는 단 하나의 유일한 해 만이 존재함

     - 주어진 영역이나 폐곡면에서 포아송 방정식, 라플라스 방정식, 맥스웰 방정식 등의
       모든 풀이에 적용됨


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