Inner Product, Scalar Product, Dot Product   내적, 스칼라적, 점적

(2017-09-13)

내곱, 스칼라 곱, 점곱, 도트곱, Inner Product Space, 내적 공간

1. 내적 이란?

  ㅇ 내적(Inner Product) / 도트곱(Dot Product) / 스칼라적(Scalar Product)
     - 임의 두 벡터로부터 스칼라 값(길이,거리 등)을 생성해내는 연산
        . 일반적 표기 : < x,y > 또는 x·y 또는 xTy
           .. 연산의 결과가 벡터량이 아닌 스칼라량이 됨

  ㅇ 내적 공간 (Inner Product Space)
     - 내적이 정의되는 벡터공간 
        . 벡터 쌍을 서로 연관시키는 대수적 연산(내적)이 정의되어지는 벡터공간
           .. (아래 4.항에서 내적공간 공리 참조)


2. 내적에 의해, 벡터는 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음벡터의 크기,벡터 쌍 간의 각도,거리,직교성 등이 내적에 의해 비로소 정의됨

     - 벡터 크기(길이): 노름(Norm) = ∥u∥= u·u
     - 벡터 각도      :   
     - 벡터 간의 거리 : 두 벡터 간의 거리(차이점,부동성) ☞ 유클리드 거리
     - 벡터 투영      : 한 벡터의 또다른 벡터로의 성분
     - 직교성         : < x,y > = 0


3. 내적의 표현실수 벡터공간 Rn 상에서의 내적 

     - 내적의 기하학적 표현
        . x·y = xy cos θ = ||x|| ||y|| cos θ
           .. 두 벡터의 크기의 곱 xy에 사잇각 θ의 코사인을 곱한 것
              

     - 내적의 성분별 표현
        . 두 벡터 x=(x₁,x₂,...,xn), y=(y₁,y₂,...,yn)에 대해,
        복소수 벡터공간 Cn 상에서의 내적

     - 임의의 두 벡터 x,y에 대해 각 성분의 스칼라들을 대응시키는(즉,곱하는) 연산
        
        . 여기서, yH행렬 y의 헤르미티안 전치(Hermitian Transpose)

  ㅇ 신호공간 또는 함수공간 상에서의 내적

     - 두 신호/함수 간의 내적 연산
       


4. `내적 공간`의 공리/성질실수 내적공간 공리
     -  교환 법칙 (대칭 공리) 
        .  x·y = y·x  또는  < x,y > = < y,x >
     -  분배 법칙 (덧셈 공리) 
        .  (x + yz = x·z + y·z  또는  < x+z,y > = < x,y > + < z,y >
     -  스칼라 결합 법칙 (동차성 공리) 
        .  (k xy = x·(k y) = k (x·y)  또는  < kx,y > = < x,ky > = k< x,y >
     -  양의 정부호 공리 
        .  x·x ≥ 0  또는  < x,x > ≥ 0 (등호는 x = 0 일때만 성립)

  ㅇ 기타 성질
     - 자기 자신과의 내적은,  => 노름(Norm)
     - 영 벡터와의 내적은 영(0) : < x,0 > = 0
     - 복소수 내적공간 성질
        .  < x,y > = < y,x >*
        .  < x,y > + < y,x > = 2 Re [< x,y >]


[벡터의 크기,각도,거리,직교,투영] 1. 내적 2. 노름,거리 3. 외적 4. 투영 5. 유클리드 거리 6. 직교 7. 슈바르츠 부등식
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