경우의 수 계산 (요약)

(2020-01-29)
1. [용어 비교]치환 : 전체(n)를 모두(n) 순서적으로 나열/재배열 (nPn = n! ☞ 팩토리얼 참조)
  ㅇ 순열 : 전체(n) 중 일부(r)를 선택하여 순서적으로 나열 (nPr)
  ㅇ 조합 : 전체(n) 중 일부(r)를 선택 (nCr)


2. 순열(Ordered Sequence)에서, 셈하는 종류 (경우의 수)

  ㅇ 비 중복 순열 (sampling without replacement)
    
     - (전체 순열) => 때론, 치환(Permutation) 이라고도 함
        . 서로다른 n개를 순서있게 나열하는 경우의 수 : n!

     - (일부 순열)
        . 서로다른 n개 중 r개를 취하여 순서있게 나열하는 경우의 수 : {# {_nP_r} #}

            
[# {_nP_r} = (n)(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} \\ \quad \left( \, {_nP_0} = 1, \quad {_nP_n} = n! \, \right) #]
- (원 순열, circular permutation) . 서로다른 n개를 원형으로 순서있게 나열하는 경우의 수 : (n-1)! - (그룹 순열) (같은 것이 있는 순열) (다중 집합순열) . 일부 같은 것이 있는 n개를 k개의 다중 집합(k개 그룹)으로 순서있게 나열
[# \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} #]
. 만일, n개 중 p개가 같다면, 이때 순서있게 늘여놓는 경우의 수 : n!/p! ㅇ 중복 순열 (sampling with replacement) - 중복을 허용하여 나열하는 경우의 수 . m개 중 중복을 허용하며 n개를 뽑아 나열하는 경우의 수 : mn 3. 분할(Partition)에서, 셈하는 종류 (경우의 수) ㅇ 서로다른 n개 집합을 r개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수
[# \begin{pmatrix} n \\ n_1,n_2,\cdots,n_r \end{pmatrix} = \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!} \qquad (n_1 + n_2 + \cdots + n_r = n)#]
4. 조합(Combination)에서, 셈하는 종류 (경우의 수) ㅇ (비 중복 조합) - 유한개의 서로다른 원소를 갖는 집합으로부터 부분집합을 만드는 것 . 원소가 n개인 집합에서 원소가 k개인 부분집합을 선택하는 방법의 수 . (k-조합, k-combination)
[# {_nC_k} = C(n,k) = {n \choose k} = \frac{P(n.k)}{P(k,k)} = \frac{n!}{(n-k)!k!}#]
. 한편, 기호 {# {n \choose k} #}은 일명 `이항계수`라고도 함 - 주요 관계식 . {# {_nC_r} = {_{n-1}C_{r-1}} + {_{n-1}C_r} #} ㅇ (그룹 조합) - 서로다른 n개를 p개,q개,r개로 3개의 그룹으로 조합하는 경우 . {# {_nC_p} \times {_{n-p}C_{q}} \times {_{r}C_{r}} #}


[조합론/셈법(Counting)] 1. 조합론 2. 셈법 3. 치환 4. 순열 5. 조합 6. 경우의 수 계산 (요약) 7. 이항/다항 정리 8. 비둘기집 원리
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
              1. 정수론
              2. 절대값
              3. 짝수,홀수,패리티
          1.   수의 구분/표현
          2.   조합론/셈법(Counting)
            1.   1. 조합론
                2. 셈법
                3. 치환
                4. 순열
                5. 조합
                6. 경우의 수 계산 (요약)
                7. 이항/다항 정리
                8. 비둘기집 원리
          3.   나눗셈 (가분성)
          4.   소수,최대공약수
          5.   디오판투스 방정식
          6.   합동
        3.   선형 대수학
        4.   추상대수학
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
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  6.   통신/네트워킹
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  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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