Vector Space, Linear Vector Space, Linear Space   벡터 공간, 선형 벡터공간, 선형 공간

(2017-06-08)

Vector Space Axiom, 벡터공간 공리

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1. 벡터 공간 (Vector Space)

  ㅇ 어떤 원소들의 집합에  덧셈과 스칼라배 연산이 정의되며,
     수학적 체계(대수적 구조)를 형성하는 추상적 공간

     - 벡터 : 대상되는 집합의 원소를 표현하는 추상적 개념
        . 굳이, 방향 및 크기를 나타내는 기하학벡터일 필요 없음
     - 공간 : 기하학도형(圖形) 및 대수학수(數)의 성질 모두를 갖는 수학적 표현
        . 만일, 공간대수적 규칙을 따르지 않는다면 단지 도형,수들이 흩뿌려진 것에 불과함

     * 벡터 공간은 현실 공간의 성질(주로,선형적인 성질)을 특정 수준으로 추상화시킨 것

  ㅇ 10가지 벡터공간 공리(Axiom)를 만족하며 2가지 연산(덧셈,스칼라곱셈)이 가능한 집합
     - 2개 연산(덧셈 및 스칼라 곱셈)으로 8개 연산법칙이 성립되는 공간
        . 유클리드 공간추상화, 일반화시킨 공간


2. 10가지 벡터공간 공리(Axiom)

  ㅇ 덧셈 관련
     - (1) 벡터공간 V는 덧셈에 대해 닫혀있음(closed under addition).
        . 즉, ab가 V에서 존재하면, a + b 도 V에서 존재함
     - (2) (가환성,commutativity)  a + b = b + a
     - (3) (결합성,associativity)  (a + b) + c = a + (b + c)
     - (4) (영 벡터가 존재함)   a + 0 = a
     - (5) (덧셈 역원이 존재함)  a + (-a) = 0

  ㅇ 스칼라배 관련
     - (6) 벡터공간 V는 스칼라배에 대해 닫혀있음(closed under scalar multiplication),
        . 즉, a가 V에서 존재하고 α가 스칼라이면, αa도 V에서 존재함
     - (7) (스칼라 결합성)  α(βa) = (αβ)a
     - (8) (단위원)  1 a = a
     - (9) (분배성,distributivity)  α (a + b) = αa + αb
     - (10) (분배성,distributivity)  (α + β) a = αa + βa


3. 벡터공간 관련 기타중요사항

  ㅇ 길이,각도 등의 개념
     - 벡터공간 그 자체로는 길이,각도 등에 대한 개념이 없음
        . 길이,각도 등은 내적이 관계될 때 만 가능         ☞ 내적공간 참조

  ㅇ 보다 작은 벡터공간
     - 그 기본구조를 그대로 유지하며, 보다 작은 벡터공간  ☞ 부분공간 참조

  ㅇ 선형 벡터공간
     - 벡터공간을 간단히 선형공간 또는 선형 벡터공간 이라고 하기도 하나, 
        . 선형 벡터공간은 전체 벡터공간의 일부인 부분공간 임

  ㅇ 벡터 공간의 생성                                    ☞ 생성(Span) 참조
     - 주어진 유한개의 기저 벡터들에 의해 벡터공간이 생성(Span)이 됨
        . 즉, 기저벡터들의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있는 공간

  ㅇ 모든 n 차원 벡터들을 성분으로 이루어지는 전체 집합n차원 공간 참조


4. 벡터공간 例

  ㅇ 실수 원소를 갖는 벡터로 이루어진 공간은 벡터공간임 : Rn 
     - 두 실수의 합도 곱도 실수가 되므로

  ㅇ 다항식벡터공간임 : Pn 
     - 두 다항식의 합도 다항식, 다항식상수배도 다항식이 되므로

  ㅇ 연속 함수벡터공간임 : C(-∞,∞)
     - 연속 함수의 합도 연속 함수, 연속 함수상수배를 해도 연속함수가 되므로

  ㅇ 행렬벡터공간임


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