Field (체), Field Axiom   체 (Field), 체 공리

(2018-01-16)

1. 체 (Field)

  ㅇ 요소들 간의 덧셈,곱셈 등의 연산 결과가 다시 그 안에 있는(닫힘성) 집합
     - 그 요소들이 집합을 이루면서, 
     - 덧셈과 곱셈 연산 두 쌍(2개 산술연산자)을 사용할 수 있는 대수적 구조 

  ㅇ 체의 표기 : F

  ㅇ 체의 응용
     - 실수 R, 유리수 Q, 복소수 C 와 같은 수 집합 체계(number system)에 대한 추상화


2. 체 공리 (Field Axiom) 

  ㅇ 덧셈 연산(+)에 대해 :  ( F, + )
     - ①  닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(+) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - ②  덧셈 항등원(`0`)이 존재 (identity) : a + 0 = a = 0 + a
     - ③  모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 (inverse) : a + (-a) = 0 = (-a) + a
     - ④  모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a + b) + c = a + (b + c)
     - ⑤  모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a + b = b + a

  ㅇ 곱셈 연산(x)에 대해 :  ( F, · )
     - ⑥  닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(x) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - ⑦  곱셈 항등원(`1`)이 존재 (identity) : a·1 = a = 1·a
     - ⑧  0 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원이 존재 (inverse) : a a-1 = 1 = a-1 a if a ≠ 0
     - ⑨  0 이외의 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a b) c = a (b c)
     - ⑩  0 이외의 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a b = b a

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(x) 연산에 대해 :  ( F, +, · )
     - ⑪  뎃셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립 (distributivity) : a (b + c) = a b + a c 


3. 체, 가환군(아벨군), 가환환,  비교

  ㅇ 체 공리가환군(아벨군)으로 다시 표현하면,
     - 덧셈에 대해 덧셈 항등원(0)을 갖는 가환군(아벨군)
     - 곱셈에 대해 0 이외 원소들(F*)이 곱셈 항등원(1)을 갖는 가환군(아벨군)
     - 덧셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립

  ㅇ 체 공리가환환으로 다시 표현하면,
     - 가환환이 0 이외의 모든 성분에 대해 각각 곱셈 역원이 존재할 때 => 체(Field)

  ㅇ 환 공리를 체 공리로써 다시 표현하면,
     - 체 공리 중 곱셈의 역원 존재를 제외한 나머지 공리들을 만족하는 경우 => 환(Ring)


4. 체의 성질

  ㅇ  체는 최소 다음 두 요소로 만으로도 구성 가능
     - 즉, 덧셈 항등원(0), 곱셈 항등원(1)

  ㅇ  a·0 = 0·a = 0
  ㅇ  a≠0,b≠0 일 때, a·b ≠ 0
  ㅇ  a·b = 0,a≠0 일 때, b = 0
  ㅇ  -(a·b) = (-a)·b = a·(-b)
  ㅇ  a≠0,a·b = a·c 일 때, b = c


5. 체 공리가 성립하는 例유리수체 ℚ  : 유리수 전체의집합
     - 덧셈에 대해서,
        . 닫혀있고, 결합법칙,교환법칙 성립, 항등원(0) 존재, 모든 원소에 역원(-a) 존재
     - 곱셈에 대해, 
        . 닫혀있고, 결합법칙,교환법칙 성립, 항등원(1) 존재, 0 이외 모든 원소에 역원(a-1) 존재
     - 덧셈에 관한 곱셈의 분배법칙이 성립
  ㅇ 실수체 ℝ    : 실수 전체의 집합
  ㅇ 복소수체 ℂ  : 복소수 전체의 집합 


6. [참고사항]

  ㅇ 유한개 원소 만을 갖는 체  ☞ 유한체(갈로이스체) 참조
     - 한편, 유한개의 원소(q개) 만을 갖는 체  : `GF(q) 라고 표기`

  ㅇ 체의 대수적 구조에서 응용상 중요한 성질 : 각 원소(성분)가 역원을 갖음

  ㅇ 벡터공간의 원소들은 벡터(Vector), 체의 원소들은 스칼라(Scalar) 라고 함


[체(Field)] 1. 체(Field) 2. 체(Field) 관련 용어 3. 유한체,갈로아체
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
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        3.   선형대수학
        4.   추상대수학
              1. 대수 구조
              2. 군(Group)
              3. 환(Ring)
              4. 체(Field)
          1.   연산
          2.   군(Group)
          3.   환(Ring)
          4.   체(Field)
            1.   1. 체(Field)
                2. 체(Field) 관련 용어
                3. 유한체,갈로아체
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
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  10.   기술경영

 
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